3 Objekte in 5 Kartons verteilen
Auf wie viele Arten können 3 Objekte in 5 Feldern verteilt werden, sodass keine 2 Objekte in dasselbe Feld gelangen.
Meine Argumentation lautet wie folgt:
Da sich keine 2 Objekte in derselben Box befinden dürfen, besitzt jede Box ein eindeutiges Objekt, sodass nur 3 Boxen gleichzeitig erfasst werden können. Das Anordnen von 5 Boxen mit 3 auf einmal ist 5.4.3 = 60 Möglichkeiten.
Beachten Sie jedoch, dass für jede dieser 60 Möglichkeiten die 3 Objekte in 3 angeordnet werden können! Wege.
Somit sind die Gesamtwege = 60,3!
Das Buch argumentiert jedoch wie folgt:
Da es eine 1-1 Entsprechung zwischen Verteilungen von 3 Objekten in 5 Boxen mit der angegebenen Bedingung gibt. Somit beträgt die erforderliche Anzahl solcher Verteilungen p (5,3) = 60 Wege
Was sind die Lücken in meiner Argumentation? Was vermisse ich?
Antworten
Stellen Sie sich vor, es gibt nur $3$ Boxen und $3$ Bälle, jeweils beschriftet, die Kästchen A, B, C und die Bälle 1,2,3.
Auf wie viele Arten können wir diese Objekte mit einer Kugel in jeder Box anordnen?
Es ist nur $6$. Sie haben behauptet, die Antwort sei$36$, weil wir die Boxen neu anordnen können $3!=6$ Wege und auch wir können die Bälle neu anordnen $3!=6$ für eine Summe $36$ verschiedene Arrangements.
Aber sie sind nicht alle verschieden. Wenn wir Boxen BCA und Bälle 123 haben, ist dies dasselbe wie ABC 312 oder CBA 213.
Also reparieren wir eines der Objekte, sagen wir die Kisten, als ABC und platzieren die Kugeln darin, und wir können dies tun $6$ Wege ($123,132,213,231,312,321$).
Dann wählen wir $3$ Boxen aus $5$, und da sind $\binom53=10$Möglichkeiten, dies zu tun. Korrigieren Sie die bestimmten Boxen, und es gibt$6$Es gibt Möglichkeiten, die Kugeln zu platzieren und das Prinzip der Multiplikation anzuwenden$10\cdot6=60$ Wege insgesamt.
Für das erste Objekt gibt es 5 verschiedene Boxen und für das zweite gibt es 4 verschiedene Boxen und für das dritte 3 verschiedene Boxen (keine zwei davon in derselben Box)
Nach dem Multiplikationsprinzip $5\times4\times3=60$
Oder
$P(5;3)=60$