3D-Laplace-Operator

Question

Ich konnte das Äquivalent der endlichen 5-Punkt-Schablonendifferenzen für den Laplace-Operator nicht finden.

In zwei Dimensionen ist mir klar, dass mit der Finite-Differenzen-Methode: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h ist das Größenraster / der Schritt)

Ich bin mir aber nicht sicher, ob es für den dreidimensionalen Fall vollständig symmetrisch ist. Kann ich nur die Begriffe hinzufügen, die sich auf die 3. Dimension beziehen?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Eine Quelle, in der ich die verschiedenen Genauigkeitsbegriffe für den 3D-Laplace finden könnte, wäre ebenfalls hilfreich.

Answer 1

Ja, dieser endliche Unterschied ist richtig. Sie können es mit einer endlichen Differenz in jeder Richtung für den Laplace-Operator in jeder Koordinate erhalten.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Alternativ können Sie ein Polynom interpolieren, das durch die Punkte in Ihrer Schablone verläuft, und dann den Laplace-Wert berechnen und bei bewerten $(x, y, z)$.