Abdeckung diskreter Wahrscheinlichkeitsmaße

Question

Lassen $\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ bezeichnen die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf $\mathbb{R}$ für das Formular $\sum_{i=1}^n k_i \delta_{x_i}$ wo $k_i>0$. Dann jede Maßnahme in$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ ist im Bild der Karte auf $\Delta_n \times \mathbb{R}^n$, wo $\Delta_n$ ist das Innere der $n$-simplex (dh: $k_1,\dots,k_n \in (0,1)$ mit $\sum_{i=1}^n k_i =1$nehmen $(k_1,\dots,k_n)\times (x_1,\dots,x_n)$ zu $\sum_{i=1}^n k_j \delta_{x_i}$. Diese Karte ist eindeutig durchgehend, wenn$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ ist mit der Prokhorov-Metrik ausgestattet.

Ist es jedoch eine Abdeckungskarte ? Ich konnte es nicht widerlegen, also denke ich, vielleicht ist es ...?

Answer 1

Diese Karte ist nicht verdeckend, da die Vorbilder von Singleton-Mengen unter dieser Karte nicht dieselbe Kardinalität haben. ZB die Kardinalität des Vorbilds der Singleton-Menge$\{\frac1n\,\sum_{j=1}^n\delta_j\}$ ist $n!$, während das Vorbild des Singleton-Sets $\{\delta_0\}$ ist von unendlicher Kardinalität.

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Von der Site, auf die Sie verlinkt haben: "[für eine Titelkarte $f\colon X\to Y$,] die Kardinalzahl von $f^{-1}(y)$ (was möglicherweise unendlich ist) ist unabhängig von der Wahl von $y$ im $Y$. "