Ableiten des PDF von $\chi_k^2$
Lassen $\{X_i\}_{i=1}^{k}$ eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen sein, so dass $X_i\sim N(0,1)$dann die Zufallsvariable $\sum_{i=1}^kX_i^2\sim\chi_k^2$. Es ist leicht zu zeigen, dass das PDF von$\chi_1^2$ist \ begin {Gleichung} f (x): = \ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ exp (- \ frac {x} {2}) x ^ {- \ frac { 1} {2}} 1 _ {[0, \ infty)} \ text {. } \ end {Gleichung} Es ist bekannt, dass wenn$X$ und $Y$ sind absolut kontinuierlich und unabhängig mit PDFs $f$ und $g$ jeweils dann $X+Y$ ist absolut kontinuierlich mit PDF $h(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy$außerdem, wenn $\{Y_i\}_{i=1}^k$ sind also absolut kontinuierlich und unabhängig $\sum_{i=1}^kY_i$ist absolut stetig mit PDF \ begin {Gleichung} h (x_1) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R}} f_1 (x_1- \ sum_ {i = 2} ^ kx_i) \ prod_ {i = 2} ^ {k} f_i (x_i) dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {Gleichung} wobei$f_i$ ist das PDF von $Y_i$. Anwenden auf$Y_i:=X_i^2$und vereinfachend haben wir, dass \ begin {Gleichung} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac { x_1} {2} \ right) \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 3} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i} ((x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i) -x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {Gleichung}, die das innerste Integral ausführt, das wir haben, dass es gleich ist$\pi$, also \ begin {Gleichung} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} { 2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 4} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ \ infty x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {Gleichung}, aber jetzt divergiert das innerste Integral, sodass hier offensichtlich etwas nicht stimmt. Könnten Sie mir helfen, den Fehler zu erkennen?
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Die Hauptfrage ist bereits gelöst (danke!) , Nur zum Spaß, wenn wir definieren$a_i=x_1-\sum_{j=i}^kx_j$dann ist es klar, dass $a_i=a_{i+1}-x_{i+1}$Das Problem besteht nun darin, \ begin {Gleichung} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- zu berechnen \ frac {x_1} {2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ {a_k} x_k ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdots \ int_ {0} ^ {a_4} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {a_3} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3dx_4 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} Berechnen der ersten innersten Integrale Der Versuch, ein Muster zu finden, zeigt Folgendes: \ begin {collect} \ int_ {0} ^ {a_2} (a_2-x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ pi a_2 ^ 0 \\ \ int_ {0} ^ {a_3} (a_3-x_3) ^ {0} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = 2a_3 ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ int_ {0} ^ {a_4} (a_4-x_4) ^ {\ frac {1} {2}} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ frac {\ pi} {2} a_4 ^ 1 \ text {,} \\ \ end {collect} das Muster scheint für die$a$, aber nicht so sehr für die $\pi$'s und die nicht-$\pi$Koeffizienten. Es folgt so$\frac{4}{3}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{5\pi}{16}$, $\frac{32}{35}$, $\frac{35\pi}{128}$, $\frac{256}{315}$, $\frac{63\pi}{256}$, ... und es ist irgendwie komisch !! Es scheint wirklich schwierig zu sein, hier ein Muster zu finden, mit dem Ziel, das PDF von durch Induktion endgültig abzuleiten$\chi_k^2$ (Ich weiß, dass charakteristische Funktionen der richtige Weg sind, möchte aber trotzdem Spaß haben!)
Antworten
Das äußerste Integral sollte eine Obergrenze haben $x$nicht $\infty$. Zum Beispiel die$\chi_2^2$ Fall reduziert sich auf$$\int_0^x\frac{1}{2\pi\sqrt{y(x-y)}}\exp\frac{-x}{2}dy\stackrel{y=x\sin^2t}{=}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\pi}\exp\frac{-x}{2}dt=\frac12\exp\frac{-x}{2}.$$
Hier ist ein alternativer Ansatz: seit dem $\chi_1^2$ Verteilung hat charakteristische Funktion $(1-2it)^{-1/2}$, das $\chi_k^2$ Fall hat vgl $(1-2it)^{-k/2}$. Nur ein PDF kann dieses cf haben; durch Inspektion ist es$\frac{2^{-k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp\frac{-x}{2}$ auf $[0,\,\infty)$.
Nach dem Nachweis, dass keine $X_i^2\sim \chi_{(1)}^2$ nach der Tatsache, dass $X_i$ unabhängig von $X_j$ impliziert auch $X_i^2$ ist unabhängig von $X_j^2$ Ihr PDF kann sofort mit MGF und seinen Eigenschaften abgeleitet werden