Affine Transformationstechnik (Putnam 2001, A-4)

Aug 24 2020

Ich versuche, die Technik der affinen Transformationen aus diesem Artikel zu lernen. Die erste behandelte Frage ist Frage A4 zum Putnam von 2001.

(Putnam 2001, A4)$\triangle ABC$hat Bereich eins. Punkt$E$,$F$,$G$liegen auf$BC$,$CA$, und$AB$jeweils so, dass$AE$halbiert$BF$am Punkt$R$,$BF$halbiert$CG$beim$S$, und$CG$halbiert$AE$beim$T$. Finden Sie den Bereich von$\triangle RST$.

Durch affine Transformationen können wir nehmen$\triangle ABC$gleichseitig oder rechts gleichschenklig sein, wie wir es für richtig halten. Wann$\triangle ABC$stimmt, das haben wir$\frac{AG}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CA} = r$. Das macht Sinn. Aber dann wird es verrückt. Anscheinend können wir im rechtsgleichschenkligen Fall „die Tatsache nutzen, dass$CG$halbiert$AE$um die Identität zu erhalten$(1 - r)(1 - \frac{r}{2}) = 1/2$". Warum ist das so? (Später gibt es andere verwirrende Behauptungen wie:$\frac{CT}{CG} = \frac{1}{2(1-r)}$und$BS = SG$, aber hoffentlich, wenn ich verstehen kann, wie der Autor auf einen von ihnen kommt, werden die anderen offensichtlicher).

Ich habe die offizielle Putnam-Lösung nachgeschlagen und sie scheinen die affine Technik etwas anders verwendet zu haben. Lösung zwei (von sechs) verwendet die affine Transformation to take$\triangle ABC$in ein bestimmtes Dreieck mit Fläche eins (nämlich dasjenige mit Ecken).$(0,1)$,$(1,0)$, und$(-1,0)$. Durch Kolinearität von Teilmengen dieser Punkte können wir außerdem drei Gleichungen in drei Unbekannten aufstellen (diese Gleichungen sind nicht linear, aber immer noch lösbar). Wenn wir die Werte für unsere drei Unbekannten einsetzen, erhalten wir die Koordinaten der Punkte$R$,$S$, und$T$. Wir können das Schnürsenkel-Lemma verwenden, um den Bereich von zu finden$\triangle RST$. Da der Bereich von$\triangle ABC$bereits eins ist, wird jede affine Transformation das Verhältnis der Flächen verlassen$\triangle ABC$zu$\triangle RST$Fest. Das einzige Problem bei diesem Ansatz ist der enorme Rechenaufwand, der erforderlich ist, wenn man das Problem von Hand lösen möchte.

Antworten

2 MishaLavrov Aug 24 2020 at 07:58

Hier ist, wie wir kommen können$(1-r)(1 - \frac12 r) = \frac12$.

Senken Sie die Höhe ab$T$auf zu$BC$; Lassen$H$die Basis dieser Höhe sein.

Auf der einen Seite,$\triangle THE$ist ähnlich wie$\triangle ABE$, und seit$T$halbiert$AE$, Wir wissen das$\triangle THE = \frac12 \triangle ABE$. Speziell,$TH = \frac12 AB$, und$HE = \frac12 BE = \frac r2 BC$.
Auf der anderen Seite,$\triangle THC$ist ähnlich wie$\triangle GBC$. Von oben wissen wir das$HC = (1 - \frac r2)BC$, so$TH = (1 - \frac r2) GB = (1 - \frac r2)(1 - r)AB$.

Dies gibt uns zwei Ausdrücke für$TH$bezüglich$AB$, also schließen wir das$(1 - \frac r2)(1-r) = \frac 12$.

(Die Sache mit dem "gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck" ist Geschmackssache. Es macht es einfach, "die Höhe verringern" zu sagen, aber wir hätten den gleichen Effekt in jedem Dreieck erzielen können, indem wir eine Linie durchgezogen hätten$T$neben$AB$, und Vermietung$H$sein Schnittpunkt mit$BC$.)

Das Verhältnis$\frac{CT}{CG}$kommt auch von der Ähnlichkeit von$\triangle THC$und$\triangle GBC$, während zu bekommen$BS = SG$(etwas, das nur im rechtsgleichschenkligen Fall zutrifft, da affine Transformationen keine Verhältnisse von nicht parallelen Segmenten beibehalten!), müssen wir die Höhe von verringern$S$auf zu$AB$und sieh zu, dass es sich halbiert$BG$.

Ich würde das hinzufügen, sobald Sie es wissen$r$(wofür es viele Möglichkeiten gibt), sehe ich einfachere Möglichkeiten, den Beweis zu vollenden. Seit$AT = TE$, wir haben$[ATC] = [TEC]$, wobei Klammern den Bereich bezeichnen. Im gleichseitigen Fall haben wir$[AFST] = [CERS]$durch Symmetrie; durch Subtrahieren erhalten wir$[CFS] = [RST]$.

Also lass$a = [AGT] = [BER] = [CFS] = [RST]$und lass$b = [AFST] = [BGTR] = [CERS]$. Wir sind in dem Problem gegeben, dass$4a+3b = [ABC] = 1$; inzwischen,$2a+b = [AGC] = r$. Dies gibt uns zwei Gleichungen zum Auflösen$a$und$b$, und$a$wollen wir finden.