Algebraic Topology Hatcher Kapitel 3.2 Problem 3

Question

Das Problem: Zeigen Sie anhand der Produktstruktur des Bechers, dass keine Karte vorhanden ist $\mathbb{R}P^n \rightarrow \mathbb{R}P^m$ Induzieren einer nichttrivialen Karte $H^1(\mathbb{R}P^m; \mathbb{Z_2}) \rightarrow H^1(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z_2})$ wenn $n > m$. Was ist das entsprechende Ergebnis für Karten$\mathbb{C}P^n \rightarrow \mathbb{C}P^n$?

Anmerkungen: Für Cochains $\phi \in C^k(X; R)$ und $\psi \in C^l(X; R)$ Wir können das Tassenprodukt definieren $\phi \smile \psi \in C^{k+l}(X;R)$ ist die auf dem singulären Simplex definierte Cochain $\sigma: \Delta^{k+l} \rightarrow X$ ist gegeben durch die Formel: $$\phi \smile \psi(\sigma) = \phi(\sigma|[v_0,...,v_k])\psi(\sigma|[v_k,...,v_{k+l}])$$ Es gibt einige Eigenschaften dieser Stühle, zum Beispiel haben wir das induzierte Becherprodukt $H^k(X; R) \times H^l(X; R) \xrightarrow{\smile} H^{k+l}(X; R)$. Ich bin nicht sicher, ob die induzierte Karte in diesem Problem mit dieser identisch ist. Ich vermute, dass dieses Problem etwas mit Satz 3.12 dieses Abschnitts zu tun hat, da dieser Satz sich auf den projektiven Raum bezieht, aber nur enthält$H^*$Dies ist definiert als die direkte Summe aller Homologiegruppen. Ich habe Probleme, in diesem Abschnitt Informationen zu finden, die sich auf die erste Kohomologiegruppe von beziehen$\mathbb{R}P^m$ und $\mathbb{R}P^n$.

Vielen Dank!

Answer 1

Die einzige nicht triviale Karte $H^1(\mathbb{R}P^m;\mathbb{Z}/(2))\to H^1(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/(2))$ ist die Identität, da sowohl Domäne als auch Codomäne isomorph zu sind $\mathbb{Z}/(2)$. Nehmen Sie für den Widerspruch an, dass$f:\mathbb{R}P^n\to \mathbb{R}P^m$ induziert diese nichttriviale Karte auf $H^1$.

Erinnere dich daran $H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/(2))\cong \mathbb{Z}/(2)[x]/(x^{n+1})$ mit $|x|=1$und dass die induzierte Karte $f^*:H^*(\mathbb{R}P^m;\mathbb{Z}/(2))\to H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/(2))$ist ein Ringhomomorphismus. Dies gibt uns, dass wir Ringhomomorphismus haben$f^*:\mathbb{Z}/(2)[x]/(x^{m+1})\to \mathbb{Z}/(2)[x]/(x^{n+1})$ welche Karten $x\to x$. Dies ist jedoch seitdem kein Ringhomomorphismus$n>m$Daher sind wir zu einem Widerspruch gekommen. Wir schließen daraus, dass keine solche$f$ existiert.

Das ähnliche Ergebnis für $\mathbb{C}P^n$ ist, dass es keine Karte gibt $\mathbb{C}P^n\to \mathbb{C}P^m$ Induzieren einer nichttrivialen Karte $H^2(\mathbb{C}P^m;\mathbb{Z})\to H^2(\mathbb{C}P^n;\mathbb{Z})$ wann $n>m$. Das Argument dafür ist das gleiche mutatis mutandis. Beachten Sie in diesem Fall die nichttriviale Karte auf$H^2$ muss nicht die Identität sein, da wir mit Koeffizienten über arbeiten $\mathbb{Z}$jetzt. Es ist jedoch immer noch eine Multiplikation mit einer Ganzzahl ungleich Null, die immer noch zum Widerspruch führt.