Allgemeine implizite zweite Ableitung

Question

Angenommen, Sie haben eine Funktion $y = y(x(t))$. Wenn wir die erste Ableitung nehmen, erhalten wir:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

Ich bin ein bisschen festgefahren, um die zweite Ableitung zu bestimmen, aber das ist es, was ich gerade habe:

$$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$

Ich weiß, dass dies nicht korrekt ist, aber ich bin mir nicht ganz sicher, was mir fehlt.

Answer 1

Verwenden Sie zuerst die Produktregel, um zu erhalten

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\\\ &=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}\tag1 \end{align}$$

Wenden Sie als Nächstes die Kettenregel auf den zweiten Term auf der rechten Seite von an $(1)$ finden

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dx}{dt}\tag2$$

Substitution von $(2)$ im $(1)$ ergibt das begehrte Ergebnis

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} \end{align}$$

Und wir sind fertig!