Alternative Definition der kohärenten Information eines Quantenkanals

Question

Lassen $T: M_n \to M_n$sei ein Quantenkanal. Wenn ich Definition 13.5.1 des Buches "Quanteninformationstheorie" von Wilde verstehe, die kohärente Information$Q(T)=\max_{\phi_{AA'}} I(A \rangle B)_\rho$ von $T$ist gegeben durch \ begin {Gleichung} Q (T) = \ sup _ {\ rho \ textrm {pure}} \ Big \ {H \ big ((\ mathrm {tr} \ otimes T) (\ rho) \ big) - H \ big ((\ mathrm {Id} \ otimes T) (\ rho) \ big) \ Big \} \ end {Gleichung}, wobei das Supremum alle zweigeteilten reinen Zustände übernimmt$\rho$ auf $M_n \otimes M_n$.

Stimmt es, dass wir das Supremum in allen Staaten durch ein Supremum ersetzen können (nicht unbedingt rein)?

Answer 1

Ich folge Wildes Notation hier. Die kohärente Information eines Kanals$N:A' \rightarrow B$ ist gegeben durch

$$Q(N) \equiv \max_{\phi_{A A^{\prime}}} I(A\rangle B)_{\rho},$$

wo $\rho_{AB}=N_{A^{\prime} \rightarrow B}\left(\phi_{A A^{\prime}}\right)$. Beachten Sie, dass der Kanal nur auf den Kanal wirkt$A'$registrieren. Das$A$ Das Register wird verwendet, um den Eingang zum Kanal zu reinigen.

Also ja, Sie können gemischte Zustände berücksichtigen $\phi_{AA'}$ aber dann können Sie dies nur zu einigen reinigen $\phi_{RAA'}$ und beschriften die $RA$ registrieren als $A$.

Schließlich ein Nebenpunkt, aber beachten Sie, dass die kohärente Information erhalten wird, indem das Maximum über alle reinen Eingangszustände genommen wird, nicht über das Supremum.