Anschluss am Pullback-Bundle.

Question

Lassen $E\to N$ ein Vektorbündel sein und $f:M\to N$sei eine glatte Karte. Der Rückzug$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ wird dann definiert durch $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ mit $x\in M$ und $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Erste Frage : Wie kann ich diesen Pullback als Karte umschreiben?$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Mein Problem ist das$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ ist gut definiert, solange $f$ist ein Diffeomorphismus. Jedoch,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ ist eigentlich gut definiert.

Dann weiß ich, dass die Verbindung $f^*\nabla$ auf $f^*E\to M$ wird eindeutig bestimmt durch $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Zweite Frage: In einigen Büchern habe ich die Notation gesehen$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ aber solange $f$ ist kein Diffeomorphismus $df(X)$ ist kein Vektorfeld an $N$ Es macht also keinen Sinn zu schreiben $\nabla_{df(X)}$. Wie kann ich dieses Problem lösen?

Answer 1

Um den Pullback global als Karte von Modulen zu schreiben, müssen Sie die Konstruktion in zwei Teile aufteilen. Um alles weniger verwirrend zu machen, lassen Sie mich mit bezeichnen$f^{\star}(E)$ das Pullback-Bündel und bezeichnen mit $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ Vektorfelder entlang $f$. So sind die Karten und Konstruktionen involviert$\star$ haben nichts mit der Ableitung zu tun, während die Karten beteiligt sind $*$das Derivat einschließen. Jetzt,

1. Ein Formular gegeben $\omega \in \Omega^k(N,E)$Wir bekommen ein Element $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ gegeben durch $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ wo $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ sind Vektorfelder entlang $f$ so dass $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$und die Formel macht Sinn. Global entspricht dies einer alternierenden Karte von$C^{\infty}(M)$-Module $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Außerdem haben Sie die Karte $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Dann$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

In Bezug auf die zweite Frage die Formel $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ ist lokal zu verstehen als $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Es macht Sinn, auch wenn $f$ ist kein Diffeomorphismus als Verbindung $\nabla_X(s)$ ist tensoriell in der $X$Variable. Sie können die Formel auch global verstehen, indem Sie den Aufbau der Pullback-Verbindung in zwei Teile aufteilen:

1. Es gibt eine Karte $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ gegeben durch $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. Die Pullback-Verbindung $f^{*}(\nabla)$ ist die einzigartige Verbindung $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ was befriedigt $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$