AP-Problem mit Summe und Produkt

Question

Problem:

Lassen $a_i , i \in \lbrace {1,2,3,4,5} \rbrace$ vertreten $5$ Begriffe in AP mit einem gemeinsamen Unterschied größer als $2$. Wenn$\sum_{i=1}^5 a_i=30$ und $\Pi_{i=1}^5 a_i=3840$, finden $a_1\cdot a_5$

Ich habe den offensichtlichsten Weg eingeschlagen $a_i s$ bezüglich $d$ und ging, um die bi-quadratische Gleichung zu lösen. $d$ bringt uns die Antwort.

Ich denke jedoch, dass es einen eleganteren Weg gibt, dies zu lösen (auch unterstützt durch die Tatsache, dass die Frage nicht möchte, dass wir sie bewerten $d$direkt). Ich konnte keinen finden. Kannst du helfen?

Answer 1

Lassen $a_1a_5=x$. Dann

$$5 (\frac{a_1+a_5}{2})=30 \implies a_1+a_5=12$$ $$a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=6$$ $$a_2a_4=(\frac{a_1+a_3}{2})(\frac{a_3+a_5}{2})=\frac14(a_1+6)(6+a_5)=\frac14 (a_1a_5+6[a_1+a_5]+36)=\frac14(x+108)$$

$$a_1a_2a_3a_4a_5=(a_3)(a_1a_5)(a_2a_4)=\frac64 x(x+108)=3840$$

$$x^2+108x-2560=(x+128)(x-20)=0$$ $$x=+20, -128$$

Schon seit $a_1+a_5=2a_1+4d=12$ und $d\gt 2$ dann $a_1 \lt 0$ und $a_5 \gt 0$ damit $a_1a_5 \lt 0$. Deshalb$$a_1a_5=x=-128$$