Approximations- und IIR-Filter

Question

Betrachten Sie das zeitdiskrete zeitinvariante System mit Eingabe $x[n]$ und Ausgabe $y[n]$ befriedigend

$$y[n] = \sum_{k=1}^5{x[n-k]}$$

Erwägen Sie, das gewünschte System mit einem IIR-System zweiter Ordnung mit Systemfunktion zu approximieren

$$H^{'}(z)= \frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

Verwenden Sie das folgende Fehlerkriterium:

wo $h_d$ ist die gewünschte Impulsantwort. $$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\lvert h_d[n]+a_1h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]\right\rvert^2$$

Wie kann die bestimmte Fehlerfunktion beim Lösen des Gleichungssystems oder der gewünschten Impulsantwort nützlich sein?

Muss ich für beide Ableitungen nehmen? $a_1$ und $a_2$ und machen Sie es 0, um das Gleichungssystem zu erhalten?

Das bekomme ich jetzt: $$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-1]+a_1h_d[n-1]h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]h_d[n-1])$$ und
$$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-2]+a_1h_d[n-1]h_d[n-2]+a_2h_d[n-2]h_d[n-2])$$

Wie kann ich nun dieses System aus zwei Gleichungen lösen und wie kann ich die gewünschte Impulsantwort daraus approximieren?

Answer 1

Ich finde es lehrreich zu versuchen zu verstehen, wie diese Fehlerfunktion abgeleitet wird und warum sie sinnvoll ist. Zunächst die gewünschte Impulsantwort$h_d[n]$ ist implizit gegeben durch die Eingabe-Ausgabe-Beziehung des gewünschten Systems:

$$y[n]=\sum_{k=1}^{5}x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_d[k]x[n-k]\tag{1}$$

Die angegebene Fehlerfunktion ist die Fehlerfunktion, die durch die Prony-Methode für den Entwurf von IIR-Filtern minimiert wird . Wir versuchen, eine gegebene Übertragungsfunktion zu approximieren$H_d(z)$ durch einen IIR-Filter $H(z)=B(z)/A(z)$::

$$B(z)\stackrel{!}{=}H_d(z)A(z)\tag{2}$$

Für das gegebene Beispiel erhalten wir (mit $B(z)=1$)

$$1\stackrel{!}{=}\left(h_d[0]+h_d[1]z^{-1}+\ldots+h_d[N-1]z^{-(N-1)}\right)\left(1+a_1z^{-1}+z_2z^{-2}\right)\tag{3}$$

Für die Gleichung $(3)$ Um zufrieden zu sein, brauchen wir alle Koeffizienten, die mit negativen Potenzen von verbunden sind $z$ verschwinden:

$$\begin{align}h_d[1]+h_d[0]a_1&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[2]+h_d[1]a_1+h_d[0]a_2&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[3]+h_d[2]a_1+h_d[1]a_2&\stackrel{!}{=}0\\\vdots\end{align}\tag{4}$$

In der Praxis können wir lösen $(4)$ in ungefährer Weise durch Minimieren der Summe der Quadrate auf der linken Seite, was zu der gegebenen Fehlerfunktion führt

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\big(h_d[n]+h_d[n-1]a_1+h_d[n-2]a_2\big)^2\tag{5}$$

Schließlich die optimalen Koeffizienten $a_1$ und $a_2$ werden erhalten, indem die Ableitung von genommen wird $(5)$ wrt $a_1$ und $a_2$und sie mit Null gleichzusetzen. Dies führt zu zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten.