Atiyah-Macdonald, Ex.2.3

Question

Diese Übung besagt, dass wenn $A$ ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak{m}$ und Rückstandsfeld $k=A/\mathfrak{m}$ und $M,N$ werden endlich erzeugt $A$-Module dann $M\otimes_{A}N=0\implies M=0$ oder $N=0$.

Das habe ich bisher gearbeitet:

Für ein $A$-Modul $L$ wir schreiben $L_{k}=k\otimes_{A}L$ für die $k$-Modul erhalten von $L$durch Erweiterung von Skalaren. Annehmen, dass$M\otimes_{A} N=0$. Dann hält es das$(M\otimes_{A}N)_{k}=0$. Wenn ich beweisen kann, dass \ begin {Gleichung} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = 0 \ end {Gleichung}, dann hätte ich das bewiesen$M=0$ oder $N=0$. In der Tat für$k$-vektorräume haben wir, dass \ begin {Gleichung} \ dim (M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k}) = \ dim (M_ {k}) \ cdot \ dim (N_ {k}) \ end { Gleichung} und das haben wir auch$M_{k}\cong M/\mathfrak{m}M$. Deshalb haben wir nach Nakayamas Lemma das$M_{k}=0\iff M=\mathfrak{m} M\iff M=0$ und $N_{k}=0\iff N=\mathfrak{m} N\iff N=0$, wie $\mathfrak{m}$ ist der Jacobson-Radikale von $A$.

Problem: Ich kann die Beziehung zwischen nicht finden$M\otimes_{A}N$ und $M_{k}\otimes_{k}N_{k}$(obwohl es mir offensichtlich erscheint). Ich habe die folgenden Dinge versucht: \ begin {Gleichung} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = (k \ otimes_ {A} M) \ otimes_ {k} (k \ otimes_ {A} N) = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {k} k) \ otimes_ {A} N = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {A} N) = (M \ otimes_ {A} N) _ {k } \ end {Gleichung} Aber das kann ich nicht sehen$M$ ist ein $k$-Modul und damit der Isomorphismus $M\otimes_{k}k\cong M$ ist ungültig.

Answer 1

Ja wirklich $M_k=M\otimes_A A/\mathfrak{m}=M\otimes_A k$. Damit:$$ M_k\otimes_k N_k=(M\otimes_A k)\otimes_k(k\otimes_A N)$$ $$\cong M\otimes_A (k\otimes_k k)\otimes_A N\cong (M\otimes_A N)\otimes_A k=(M\otimes_A N)_k.$$Ich denke, das ist es, was Sie brauchen, um Ihre Argumentation zu beenden. Beachten Sie, dass wir hier nur Tensoring betreiben$k$mit sich selbst über sich selbst, und so macht dies Sinn. Es sollte eine gute Übung sein, um zu überprüfen, ob die obigen Isomorphismen tatsächlich Isomorphismen sind.