Auf Riemanns Summen für negative Exponenten

Question

Lassen $0 < a < b$. Verwenden Sie zur Berechnung Riemann-Summen

$$ \int_{a}^{b}x^{-2}\ \mathrm{d}x\ . $$

Bisher bin ich zu dem Schritt gekommen, wo

\ begin {align} \ int_ {a} ^ {b} x ^ {- 2} \ \ mathrm {d} x & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ left [\ left (a + \ frac {b - a} {n} \ i \ right) ^ {- 2} \ left (\ frac {b - a} {n} \ right) \ right] \\ [ 5 mm] & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left [\ frac {b - a} {n} \ \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ left (a + \ frac {b - a } {n} \ i \ right) ^ {- 2} \ \ right]. \ end {align}

Ich gehe davon aus, dass meine Gleichung korrekt ist, bin mir aber nicht sicher, wie ich die Summe bewerten soll.

Ich kann auch rechnen

$$ \int_{a}^{b}x^{2} \ \mathrm{d}x\ , $$

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich die Idee (wenn sie überhaupt relevant ist) auf dieses Problem übertragen soll (wenn sie überhaupt relevant ist).

Riemanns Summen wurden gerade in meinem Modul behandelt und ich versuche immer noch, mich daran zu gewöhnen. Ich würde mich über Hilfe / Anleitung dazu freuen!.

Answer 1

Mit einer einheitlichen Trennwand lassen $X_k = a + \frac{b-a}{n}k$. Die Riemannsche Summe ist$R_n = \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n X_k^{-2}$ und es kann zwischen Summen gedrückt werden, deren Grenzen leicht bewertet werden können, nämlich.

$$\tag{*}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n X_k^{-1}X_{k+1}^{-1}\leqslant R_n \leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n X_{k-1}^{-1}X_k^{-1}$$

Beachten Sie, dass

$$\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n X_k^{-1}X_{k+1}^{-1} = \sum_{k=1}^n (X_k^{-1}-X_{k+1}^{-1}) = X_1^{-1} - X_{n+1}^{-1} \\ = \left(a+ \frac{b-a}{n} \right)^{-1}- \left(a+ (b-a)\frac{n+1}{n} \right)^{-1} \\ \underset{n \to \infty} \to(a^{-1} - b^{-1})$$

In ähnlicher Weise können wir zeigen, dass die Summe auf der rechten Seite von (*) auch gegen konvergiert $a^{-1} - b^{-1}$und nach dem Squeeze-Theorem

$$\lim_{n \to \infty}R_n = a^{-1} - b^{-1} = \int_a^b \frac{dx}{x^2}$$