Ausgabe eines stabilen LTI-Systems

Question

Lassen $\mathcal{L}$ein stabiles LTI-System sein. Stimmt es, dass wenn Input endliche Energie hat, Output auch endliche Energie hat? Da bin ich mir nicht sicher. Wir wissen das$$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt\lt\infty \tag{1}$$Wo $h(t)$ist die Impulsantwort. Auch wir haben$$\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)||H(s)|ds \tag{2}$$Schon seit $y(t) = \mathcal{L}(x(t)) = x(t)\star h(t)$ was impliziert $Y(s) = X(s)H(s)$. Anwenden der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf$(2)$, $$\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)||H(s)|ds\right)^2 \le \left(\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds\right)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2ds\right) \tag{3}$$Wir wissen das $$\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt<\infty$$Da Eingang aber ein Energiesignal ist $$\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2ds$$existiert nicht unbedingt. Bedeutet dies also, dass wir ein Gegenbeispiel zu der Aussage finden oder dies durch andere Methoden beweisen können?

Bearbeiten: Hier ist ein Gegenbeispiel, das zeigt$$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt\lt \infty \nRightarrow \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|^2dt\lt \infty$$

Answer 1

Ich glaube, ich habe die Antwort gefunden. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. Zunächst habe ich einen dummen Fehler gemacht$$\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|ds$$das ist eindeutig falsch. Lassen$y(t) = x(t)\star h(t)$. Wir haben$$E_y = \int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|Y(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)X(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2|X(s)|^2ds$$Auch wir haben $$|H(s)| = \left|\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ist}h(t)dt \right | \le \int_{-\infty}^{+\infty}|e^{-2\pi ist}h(t)|dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt \lt\infty$$Damit $\exists M\in\mathbb{R}:\ \ |H(s)|\le M$ für alle $s$. Dies bedeutet, dass$|H(s)|^2\le M^2$ und dann $$\int_{-\infty}^{+\infty}|H(s)|^2|X(s)|^2ds\le M^2\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds$$Unter der Annahme $$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(s)|^2ds$$Das Ergebnis ist $$E_y \le M^2 E_g$$

Answer 2

Grobe Beweisbeschreibung:

1. Ein (realwertiges) System, das IIR ist, hat eine Impulsantwort, die $h(t) \ne 0$ für unendlich lange
2. Schon seit $\lvert h(t)\rvert \ge h(t) > 0$ für die Unendlichkeit folgt daraus, dass diese Impulsantwort keine endliche Energie hat
3. Es gibt stabile LTI IIR-Systeme