Bedeutung der Eigenwerte für den Positionsoperator
Zu jedem in der Quantenmechanik beobachtbaren gibt es einen entsprechenden Operator. Ich verstehe nicht, was die Eigenwerte der$\hat{x}$Operator. Schon seit$\hat{x}$ist hermitisch, Eigenwerte entsprechen reellen Zahlen, was ist ihre physikalische Bedeutung? Wenn sie ein Teilchen beschreiben, das an einem bestimmten Punkt lokalisiert ist, steht es dann nicht im Widerspruch zur statistischen Natur der Quantenmechanik?
Zweitens: Da Positions- und Impulsoperatoren nicht pendeln, unterscheiden sich die Eigenvektoren des Hamilton-Operators normalerweise von den Eigenvektoren sowohl der Positions- als auch der Impulsoperatoren. Aber ich sehe in Büchern die Anwendung$\hat{x}$ zum $\psi_n$a repräsentiert die Autostaten des Hamilton-Operators. Wie finde ich die Autostates für$\hat{x}$ Wenn sie nicht gleich sind, erhalten Sie sie durch Lösen der Schrödinger-Gleichung?
Antworten
Eigenwerte sind die Werte, die im Experiment gemessen werden, dh Eigenwerte von $\hat{x}$sind die Werte der Position, die beim Messen erhalten werden. Jede Messung führt zu einem anderen Ergebnis, dh einem anderen Eigenwert, es sei denn, das System wurde in einem Eigenzustand der gemessenen Größe erstellt - dies ist die statistische Natur der Quantenmechanik. Also nach$N$ Messungen haben wir einen Stichprobenmittelwert $$ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i, $$ dessen Wert sich dem in der Quantenmechanik geschätzten nähert, $\langle \hat{x}\rangle$. (All dies sieht trivial aus, aber das Problem der modernen Physik ist, dass QM oft Studenten beigebracht wird, die noch nie einen Kurs in Statistik belegt haben.)
Der Zustand des Systems muss nicht der Eigenzustand aller Operatoren sein, was so ziemlich der Punkt des Unsicherheitsprinzips ist. Somit hat ein Eigenzustand des Hamilton-Operators eine genau definierte Energie, aber eine unsichere Position und oft einen unsicheren Impuls. Zum Beispiel ergibt der Eigenzustand eines harmonischen Oszillators eine Gaußsche Positionsverteilung, dh die Emasurements$x_i$ Die oben gemessenen Werte werden so verteilt, als ob sie aus einer Gaußschen Verteilung stammen, mit Varianz $\sigma_x^2 = \langle \hat{x}^2\rangle - \langle \hat{x}\rangle^2$.
Es wird manchmal gesagt, dass die Delta-Verteilungen $\delta(x-x_0)$ sind die Eigenzustände des Positionsoperators $\hat x$. Wie der Name schon sagt, handelt es sich jedoch nicht um klassische Funktionen und gerade nicht um Elemente des Hilbert-Raums$x$ist definiert am. Gleiches gilt für den Impulsoperator und die Funktionen$e^{i\langle x,k\rangle}$. Sie sind nicht quadratisch integrierbar und somit keine Elemente des Hilbert-Raumes. Natürlich muss ein Eigenvektor ein Element des Hilbert-Raums sein. Was ist also los?
Das Problem, mit dem wir uns hier befassen, ist die unendliche Dimension unseres Hilbert-Raums. Die Dinge werden komplexer als in dem endlichen dimensionalen Szenario, in dem wir nur Eigenzustände berechnen können (und wir wissen, dass dies Elemente des Hilbert-Raums sind). Immer noch ein Operator$\hat A$ können Eigenzustände haben, die durch nicht triviale Lösungen von definiert sind $$(\hat A - \lambda \cdot\operatorname{id})| \psi\rangle = 0$$ zum $\lambda\in\mathbb{C}$ und ein $|\psi\rangle\in\mathcal{H}$ in der Domäne von $\hat A$. In unendlichen Dimensionen sind Operatoren nicht unbedingt für den gesamten Hilbert-Raum definiert. Nehmen Sie zum Beispiel$\hat x$kann eine Funktion aus dem Hilbert-Raum geworfen werden, indem eine nicht quadratische integrierbare Funktion zurückgegeben wird. Die Eigenwerte$\lambda$ auf diese Weise erhalten werden das Punktspektrum von genannt $\hat A$. Wie oben erwähnt, sind die Delta-Verteilungen jedoch keine Elemente des Hilbert-Raums und können daher nicht zum Punktspektrum beitragen. Stattdessen repräsentieren sie eine andere Art von Spektrum, das kontinente Spektrum . Die Positions- und Impulsoperatoren für freie Teilchen besitzen kein Punktspektrum, sondern nur ein kontinentales. Der Hamilton-Operator eines Wasserstoffatoms ist ein Beispiel für einen Operator mit Punktspektrum (gebundene Zustände) sowie kontinösem Spektrum (gebundenes Zustand).$E>0$Streuzustände). Eine schöne Einführung in unendlich dimensionale Quantensysteme und ihre Besonderheiten finden Sie in den Vorlesungen von F. Schuller .
Für das Punktspektrum finden wir eine diskrete Menge von Eigenvektoren (zum Beispiel durch Lösen der Schrödinger-Gleichung). Das kontinente Spektrum wird jedoch normalerweise durch ein vom Bediener bewertetes Maß beschrieben$\mu$ auf $\mathbb{R}$. Im Prinzip sagt es uns, wie gut es ist, einen Zustand mit einem Messergebnis in einer Teilmenge zu messen$A\subseteq\mathbb{R}$. Das Finden dieser "Eigenzustände" des kontinenten Spektrums entspricht nun dem Finden des genauen Maßes$\mu$.
Ich hoffe das kann dir irgendwie helfen. Die explizite Konstruktion der Maßnahme kann beispielsweise unter Verwendung des Resolvent-Operators erfolgen . Dies wird in diesem Vorlesungsvideo erklärt . Prost!