Bedeutung einer Kennlinie (einführende PDE)

Question

Was bedeutet eine Kennlinie beim Lösen von PDE?

Zum Beispiel beim Lösen $u_x + yu_y = 0 $, wir bekommen $dy/dx = y/1$ und so lösen wir diese ODE $y=Ce^x $.

Hier, was macht $y=Ce^x $ wirklich gemein?

Bedeutet das das? $x$ und $y$ müssen in der Beziehung sein $y=Ce^x $?

Kennlinien zeichnen $y=Ce^x $Wie hilft es uns, die Lösung zu finden? $u$?

Answer 1

Also jetzt, wenn Sie einstellen $$ u(x,y)=v(x,\tilde y)=v(x,e^{-x}y) $$ Die PDE transformiert sich zu $$ u_x=v_x-v_{\tilde y}ye^{-x}\\ u_y=v_{\tilde y}e^{-x}\\ \implies 0=u_x+yu_y=v_x $$ so dass $v$ ist im ersten Argument konstant und im zweiten Argument nur variabel, $v(x,\tilde y)=\phi(\tilde y)$. Als Folge$$ u(x,y)=\phi(e^{-x}y). $$ Was ist die Funktion $\phi$ ist und ob es existiert und einzigartig ist, hängt jetzt von den Anfangsbedingungen ab.

Die Theorie der Kennlinien formalisiert dieses Verfahren und findet Kurven, entlang derer sich die PDE erster Ordnung im Wesentlichen wie ein skalares ODE-System verhält. Entlang einer beliebigen Kurve$x(t),y(t)$ man kann definieren $z(t)=u(x(t),y(t))$ und dann vergleichen Sie seine Zeitableitung $$ \dot z=u_x\dot x+u_y\dot y $$ mit der linearen PDE $$ a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=c(x,y,u). $$ Das sieht man, wenn man das sicherstellt $\dot x=a(x,y,z)$ und $\dot y=b(x,y,z)$dann auch $\dot z=c(x,y,z)$. Also wenn der Ausgangszustand$z_0(r)=u(x_0(r),y_0(r))$ ist für die Lösung des resultierenden IVP eindeutig, dann gibt seine Lösung den Wert der PDE-Lösung entlang dieser Kurve an.