Bedingtes Wahrscheinlichkeitsproblem mit Würfeln

Question

Es werden drei verschiedene faire Würfel geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass$4$ erscheint auf zwei Würfeln gegeben $5$ tritt bei mindestens einem Würfel auf.

Ich habe die Anzahl der Fälle gezählt, in denen mindestens eins fünf auftritt. Dies kann gezählt werden als (genau 1+ genau 2 + genau 3) =$ 75+15+1$. Die günstigen Fälle sind$3$. Die Wahrscheinlichkeit sollte also sein$3/91$nach mir. Die Antwort in der Quelle, aus der die Frage stammt, ist jedoch etwas anderes. Ich wollte nur bestätigen, ob meine Methode korrekt ist.

Answer 1

$A$ ist Ereignis von $4$ erscheint genau auf zwei der drei fairen Würfel.

$B$ ist das Ereignis von $5$ erscheint auf mindestens einem Würfel.

$P(A \cap B) = {3 \choose 1} \frac{1}{6^3}$ (zwei $4$ und ein $5$)

$P(B) = 1 - (\frac{5}{6})^3$ (Dies ist die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem $5$ erscheint).

Gewünschte bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{{3 \choose 1} \frac{1}{6^3}}{1 - (\frac{5}{6})^3} = \frac{3}{91}$.