Beispiel eines nicht genau definierten Objekts
Ich bin Lehrassistent für einen linearen Algebra-Kurs im ersten Jahr für Mathematik- und Physikstudenten und ich denke, dass es für meine Studenten nicht so klar ist, was "gut definiert" bedeutet. Daher möchte ich einen Teil der nächsten Sitzung darauf verwenden, ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was dieser Begriff ist.
Aus meiner eigenen Erfahrung als Student im ersten Jahr erinnere ich mich, dass es viel hilfreicher war, Beispiele für Funktionen oder Operationen zu sehen, die nicht genau definiert sind, um zu verstehen, was dieses Konzept wirklich bedeutet.
Meine Frage lautet also: Was sind coole (nicht zu komplizierte) Beispiele für Definitionen von mathematischen Objekten, die nicht genau definiert sind? Die Beispiele können sich sowohl auf die Analyse als auch auf die lineare Algebra beziehen, müssen jedoch recht einfach sein. Ich würde mich auch für nicht genau definierte Konstruktionen interessieren, die nicht unbedingt direkt mit Funktionen zusammenhängen (in Anlehnung an mein letztes Beispiel).
Ich habe mir ein paar Beispiele ausgedacht, aber ich habe mich gefragt, ob es bessere gibt :). Hier ist das Beispiel, das ich mir ausgedacht habe.
- Unter welchen Bedingungen ist die "Identitätsfunktion" $\varphi : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}, [x] \mapsto [x]$ gut definiert?
- Ist die Funktion $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}, \frac{a}{b} \mapsto a + b$ gut definiert?
- Warum interessiert uns die Assoziativität in Gruppen / Ringen / Feldern?
Antworten
Ich denke, Ihre Beispiele leiden, weil sie von Notationskonventionen abhängen. Warum bezeichnen wir schließlich eine einzelne Zahl mit beiden?$\frac12$ und $\frac24$? Weil Rationalitäten durch Äquivalenzklassen definiert werden, aber das ist in unserer Vertrautheit mit der Notation verborgen. Gleiches gilt für die modulare Arithmetik.
Ich schlage folgendes vor.
- Teilen wir die ganzen Zahlen in drei Stapel, Z, U, T, wo $Z$ besteht aus allen Vielfachen von drei, $U$ besteht aus ${\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots}$ (dh Vielfache von drei plus eins) und $T$ist "Vielfaches von drei plus zwei"). Definieren Sie die Addition wie folgt:
$$ A \oplus B $$ für zwei von $Z, U, T$wird definiert, indem ein Element von genommen wird $A$, ein Element von $B$und fügen sie hinzu $\Bbb Z$. Das Ergebnis ist in einer der drei Mengen, und wir haben die "Summe" von definiert$A$ und $B$ dieser dritte Satz sein.
[mindestens ein Beispiel ausarbeiten; zeigen, dass es eine Identität für die Hinzufügung gibt, nämlich$Z$].
- Lassen Sie uns die ganzen Zahlen in drei Stapel aufteilen. Lassen Sie uns die ganzen Zahlen in drei Stapel aufteilen. $Z, E, I,$ wo $𝑍$ besteht aus nur Null, $E$ enthält alle geraden Zahlen außer $0$, und $I$enthält alle ungeraden Zahlen. Definieren Sie die Addition wie folgt:$$ A \oplus B $$ für zwei von $Z, E, I$wird definiert, indem ein Element von 𝐴, ein Element von 𝐵, genommen und in ℤ hinzugefügt wird. Das Ergebnis liegt in einer der drei Mengen vor, und wir definieren die "Summe" von 𝐴 und 𝐵 als diese dritte Menge.
Machen Sie noch einmal ein Beispiel (zeigen Sie das $A \oplus B = A$zum Beispiel oder das $Z \oplus I = I$), zeige, dass $Z$ ist ein additives Identitätselement und zeigt dann ... dass es nicht genau definiert ist, weil $E+E$, wenn Sie Elemente auswählen $2$ und $-2$würde sich summieren zu $Z$, aber wenn Sie wählen $2$ und $4$würde es summieren zu $E$.
Dies zeigt genau, wo der Fehler in der Definition liegt ("Das Ergebnis liegt in einer der drei Mengen" ist wahr, aber welche der drei hängt davon ab, welche Entscheidungen Sie getroffen haben ...)
Es kann auch hilfreich sein, dies eher mit Multiplikation als mit Addition zu tun, da die Multiplikation von Element zu Element (in Bbb Z) (im ersten Beispiel) von $Z$ und $Z$nicht am Ende gleich zu$Z$, sondern endet eine Teilmenge von$Z$(und ähnlich für die anderen Produkte). Ich habe es geschafft, dies (in einem anderen Kontext) für einige Zeit falsch zu verstehen.