Berechnung einer endlichen Summe mit Binomialkoeffizienten
Ich möchte Folgendes beweisen: Angesichts der Reihenfolge $$a_m = \begin{cases}1 & \text{if $m = 0, 1$} \\\frac{(\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2(m-1))}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+m-1)} & \text{otherwise}\end{cases}$$ dann, $$\sum_{m=0}^{n}(-1)^m\binom{n}{m}a_m = \begin{cases}\frac{(n-1)!!}{(\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+n-1)}& \text{if $n$ is even and $\ ge 2$} \\0 & \text{if $n$ is odd}\end{cases}$$
Ich verstehe, dass die linke Seite in der letzten Gleichung die ist $n$-th Unterschied $\Delta^na_0$Im Grunde habe ich versucht, jeden Unterschied zu berechnen, aber es scheint, dass eine allgemeine Formel schwer zu finden ist $\Delta^na_k$. Kannst du mir helfen? Ich habe oft gesehen, dass solche Probleme mit speziellen Funktionen angegriffen werden können, aber leider habe ich keine Erfahrung :(. Was schlagen Sie vor? Jeder Hinweis wäre sehr dankbar :)
EDIT: Also hier ist das ursprüngliche Problem: Zeigen Sie das $$e^{-x}\left[1+x+\frac{\alpha+2}{\alpha+1}\cdot\frac{x^2}{2!}+\frac{(\alpha+2)(\alpha+4)}{(\alpha+1)(\alpha+2)}\cdot\frac{x^3}{3!}+\ldots\right]=$$$$1+\frac1{\alpha+1}\frac{x^2}{2^1\cdot1!}+\frac1{(\alpha+1)(\alpha+3)}\frac{x^4}{2^2\cdot2!}+\ldots$$. Wenn man das Produkt eins macht, vergleicht man einfach die beiden Reihen und erhält meine obige Gleichung (wenn ich das Muster der beiden Reihen richtig interpretiert habe).
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Zunächst müssen Sie nicht präzise $a_0=a_1=0$ da sie explizit aus der Formel stammen, die gibt $a_m$.
Als nächstes die $a_m$ viel vereinfachen wenn $m$ist gerade. Zum Beispiel$$a_7=\frac{(\alpha +8) (\alpha +10) (\alpha +12)}{(\alpha +1) (\alpha +3) (\alpha +5)}\qquad a_8=\frac{(\alpha +8) (\alpha +10) (\alpha +12) (\alpha +14)}{(\alpha +1) (\alpha +3) (\alpha +5) (\alpha +7)}$$
Verwenden von Pochhammer-Symbolen $$a_m=2^{m-1}\frac{ \left(\frac{\alpha }{2}+1\right)_{m-1}}{(\alpha +1)_{m-1}}$$ $$S_n=\sum_{m=0}^{n}(-1)^m\binom{n}{m}\,a_m =\frac{1+(-1)^n}{2 \sqrt{\pi } }\,\frac{ \Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{ \Gamma \left(\frac{1}{2} (n+\alpha +1)\right)}$$ Wenn ich mich nicht irre, erhalten wir nicht die gleiche Formel für $S_n$ wann $n$ ist gerade.
Aus der Definition des Pochhammer Symbol ,$$(a)_n=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$$wir können \ begin {Gleichung} a_m = 2 ^ m \ frac {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) _ {m}} {(\ alpha) _ {m}} \ end {Gleichung ausdrücken } mit$a_0=a_1=1$. (Der von @ClaudeLeibovici angegebene Ausdruck kann abgerufen werden, indem bemerkt wird, dass \ begin {Gleichung} (s + 1) _ {m-1} = \ frac {\ Gamma (s + m)} {\ Gamma (s + 1)} = \ frac {1} {s} \ frac {\ Gamma (s + m)} {\ Gamma (s)} = \ frac {1} {s} (s) _m \ end {Gleichung} Die in der edit kann als konfluente hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden \begin{align} \sum_{k=0}^\infty a_k\frac{x^k}{k!}&= 1+x+\frac{\alpha+2}{\alpha+1}\cdot\frac{x^2}{2!}+\frac{(\alpha+2)(\alpha+4)}{(\alpha+1)(\alpha+2)}\cdot\frac{x^3}{3!}+\ldots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{ \left(\frac{\alpha }{2}\right)_{k}}{(\alpha )_{k}}\frac{(2x)^k}{k!}\\ &=\,_1F_1\left( \frac{\alpha}{2},\alpha;2x \right) \end{align}Es kann erkannt werden, dass es mit einer modifizierten Bessel-Funktion zusammenhängt \ begin {Gleichung} I_ \ nu (z) = \ frac {2 ^ {- \ nu} z ^ \ nu e ^ {- z}} {\ Gamma (\ nu +1)} \, _ 1F_1 \ left (\ nu + \ frac {1} {2}, 2 \ nu + 1; 2z \ right) \ end {Gleichung} Hier nehmen$\nu=(\alpha-1)/2$Wir finden \ begin {Gleichung} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ frac {x ^ k} {k!} = 2 ^ {\ frac {\ alpha-1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {\ alpha + 1} {2} \ right) x ^ {\ frac {1- \ alpha} {2}} e ^ {x} I _ {\ frac {\ alpha-1} {2}} ( x) \ end {Gleichung} Dann \ begin {Gleichung} e ^ {- x} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ frac {x ^ k} {k!} = \ Gamma \ left (\ frac { \ alpha + 1} {2} \ rechts) \ links (\ frac {x} {2} \ rechts) ^ {\ frac {1- \ alpha} {2}} e ^ {x} I _ {\ frac {\ alpha-1} {2}} (x) \ end {Gleichung} Aus der Reihenerweiterung \begin{align} I_\nu(z)&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1)k!}\left( \frac{z}{2} \right)^{2k+\nu}\\ &=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left( \frac{z}{2} \right)^\nu\left( 1+\frac{z^2}{4(\nu+1)}+\frac{z^4}{32(\nu+1)(\nu+2)}+\ldots \right) \end{align}wir erhalten \ begin {Gleichung} e ^ {- x} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ frac {x ^ k} {k!} = 1+ \ frac1 {\ alpha + 1} \ frac {x ^ 2} {2 ^ 1 \ cdot1!} + \ Frac1 {(\ alpha + 1) (\ alpha + 3)} \ frac {x ^ 4} {2 ^ 2 \ cdot2!} + \ Ldots \ end {Gleichung } wie erwartet