Besprechen Sie die Existenz und Einzigartigkeit eines Cauchy-Problems
Ich weiß nicht, was mit dieser Übung passiert. Ich brauche eine Hilfe, weil ich ziemlich verwirrt bin.
Betrachten Sie das Cauchy-Problem
\ begin {Fälle} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {Fälle}
Studieren Sie die Existenz und Einzigartigkeit
Hier $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ Schon seit $y\geq0$ (Ich habe die Quadratwurzel), betrachte ich als offene Nachbarschaft $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$, aber auf diese Weise bin ich in Schwierigkeiten mit $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ weil es bei diskontinuierlich ist $y=0$.
Also sollte ich nach einer schwächeren Bedingung als Lipschitz-Kontinuität suchen: Ich nehme $(t,y_1)$ und $(t,y_2)$ im $K$::
$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$
aber der zweite Term der Ungleichung ist ziemlich problematisch: Es ist, als würde man das beweisen $x \mapsto \sqrt{x}$ ist Lipschitz für $x\geq0$, was bekanntermaßen falsch ist.
Also kann ich den Satz eigentlich nicht anwenden ... irre ich mich? Wenn ja, was sind meine Fehler?
Antworten
Die rhs $f(t,y)$, definiert in $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$ist kontinuierlich in $\Omega$aber es ist nicht lokal Lipschitz kontinuierlich. Daher garantiert der Satz von Peano die lokale Existenz, aber die Einzigartigkeit muss nicht gelten (und in unserem Fall haben wir tatsächlich mehr als eine Lösung).
Des Weiteren, $f$ ist sublinear in $y$, bedeutet, dass $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ für einige kontinuierliche Funktionen $a, b \in C((0,+\infty))$, so dass alle Lösungen global sind (was bedeutet, dass jede Lösung eine Erweiterung zulässt $(0,+\infty)$).
Berechnen wir die Lösungen des gegebenen Cauchy-Problems. Eine Lösung ist die konstante Funktion$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.
Andere Lösungen trennen sich irgendwann von der konstanten Lösung $\tau \geq 1$. Um sie zu finden, berechnen wir zunächst die streng positiven Lösungen der Differentialgleichung. Mit der Änderung der Variablen$z = \sqrt{y}$ wir werden zur linearen Gleichung gelassen $z' = z/t + t$, deren Lösungen von der Form sind $z(t) = ct + t^2$für eine Konstante $c\in \mathbb{R}$. Denken Sie daran, dass wir nur an positiven Lösungen interessiert sind, die in einem Teilintervall von definiert sind$(0,+\infty)$. Die entsprechende$y$ sind dann von der Form $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
wo $\tau$ist ein echter Parameter. Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn$\tau \geq 1$, dann $y_\tau$ kann mit dem nach links verlängert werden $0$ Lösung, um die globale Lösung des Cauchy-Problems zu erhalten $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ Abschließend für jeden $\tau \geq 1$Die obige Funktion ist eine Lösung des Cauchy-Problems. (Diese Lösungsfamilie wird als Peano-Pinsel bezeichnet.)