Bessel LC Leiter Filter

Sep 05 2020

Ich habe Probleme, den Wert der Parameter eines LC-Kontaktplanfilters zu bestimmen

Betrachten Sie die verfügbaren Tabellen zum Entwerfen von Tiefpass-Leiterfiltern zweiter Ordnung (Serie zuerst) mit einer Bessel-Antwort. Der Filter wird an beiden Enden mit Widerständen mit RS = RL / 2 abgeschlossen. Suchen Sie die Werte der Komponentenparameter, um einen Filter mit \ zu erhalten$\tau_0\$ = 0,8 ms und angepasst für einen Lastwiderstand von 250 Ohm.

Also habe ich zuerst eine Bessel-Filter-Designtabelle konsultiert, um die normalisierten Parameter zu erhalten $$R_S=1/2$$ $$L_1=0.2601$$ $$C_2=3.5649$$

Dann habe ich die Impedanzskalierung durchgeführt $$R_S=1/2 \times R_L=125 \Omega$$ $$L_1=0.2601 \times R_L=65.025$$ $$C_2=3.5649 \times 1/R_L=0.0142596$$

Alles ok. Jetzt kommt das Problem, wenn ich die Frequenz-Denormalisierung anwenden muss. Ich dachte, ich müsste nur mit \ multiplizieren$\tau_0\$ führt zu:

$$L_1=52.02 \space m H$$ $$C_2=11.49768 \space \mu F$$

Was falsch ist, da die Werte sein sollten:

$$L_1=38.2 \space m H$$ $$C_2=8.378 \space \mu F$$

Was mache ich falsch?

Antworten

1 aconcernedcitizen Sep 05 2020 at 14:59

Sie haben die Tabellen für E / A-Lasten korrekt verwendet, aber Sie haben vergessen, die Frequenzskalierung anzuwenden. Die folgende Tabelle zeigt:

N  | fs
---------
2  | 1.36
3  | 1.75
4  | 2.13
5  | 2.42
6  | 2.7
7  | 2.95
8  | 3.17
9  | 3.39
10 | 3.58

Wenn Sie Ihre Werte teilen, sehen 1.36Sie, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Die passive Filtersynthese ist eine große Domäne, aber im Allgemeinen wird das Filter wie ein Zwei-Port-Netzwerk behandelt, das eine Spannungsquelle mit einem Vorwiderstand als Eingang und einen Widerstand am Ausgang (doppelt terminierter passiver Port) aufweist. Ein Teil des Entwurfsverfahrens besteht darin, basierend auf einer Übertragungsfunktion zu bestimmen, welche Elemente der Port haben wird.

Für diesen Fall sind die Anforderungen \$R_L=1, R_S=\frac12\$und ein Bessel 2. Ordnung mit einer Gruppenverzögerung von \$\tau=8\text{ms}\$. Das lässt die gesamte Strecke so aussehen:

Ich werde einen anderen Ansatz wählen, um die Elemente zu finden. Die Übertragungsfunktionen für ein normalisiertes Prototyp-Tiefpass-Bessel 2. Ordnung und die obige Schaltung sind:

$$\begin{align} H(s)&=\frac{3}{s^2+3s+3}=\frac{1}{\frac{s^2}{3}+s+1} \\ G(s)&=\frac{R_L}{R_LLCs^2+(L+R_SR_LC)s+R_S+R_L}=\frac{1}{LCs^2+(L+0.5C)s+1.5} \end{align}$$

Es ist offensichtlich, dass \$\small G(0)=\frac23\$, also \$\small G(s)=\frac23H(s)\$. Ich habe die nicht-monische Darstellung gewählt, weil es jetzt einfach ist, ein Gleichungssystem aus den Nennern zu erstellen, aus denen die Werte der Elemente leicht für zwei Werte von \ ermittelt werden können$s\$(die nicht komplex sein müssen). Da für \$s=0\$beide \$L\$und \$C\$verschwinden, wählen wir \$s=1\$und \$s=2\$::

$$\begin{align}\left\{ \begin{array}{x} G(1)=\frac23H(1)\quad\Rightarrow\quad LC+L+C+1.5&=1.5(\frac13+1+1) \\ G(2)=\frac23H(2)\quad\Rightarrow\quad 4LC+2(L+C)+1.5&=1.5(\frac43+2+1) \end{array}\right. \end{align} \\ \Rightarrow \\ \begin{array}{x} L=1.31\,&,\quad 0.191 \\ C=0.382\,&,\quad 2.618 \end{array}$$

Die Lösung zeigt zwei Wertesätze, von denen jeder ausgewählt werden kann (siehe unten). Wie in den Kommentaren erwähnt, war die Frequenzskalierung, die Sie anwenden mussten, einfach die Frequenz des Tiefpass-Prototyps, wenn:

$$ |H(j\omega)|=\left|\frac{3}{-\omega^2+j3\omega+3}\right|=\frac{3}{\sqrt{\left(3-\omega^2\right)^2+9\omega^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \\ \omega_1=\pm\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5-1}\quad\omega_2=\pm j\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5+1}$$

Da es sich um positive, reelle Zahlen handelt, \$\omega\approx 1.36\$bleibt, was in der Tabelle angegeben ist. Gleiches gilt für alle Bestellungen.

Wenn Sie nun den Wert der normalisierten Elemente aus der Tabelle übernehmen, wird \$L=\frac{0.2601}{1.36}=0.19125\$und \$C=\frac{3.5649}{1.36}=2.62125\$, Werte, die den oben berechneten sehr nahe kommen, sparen Rundungen & Co. Dies kann auf höhere Ordnungen angewendet werden; Das Gleichungssystem wird flauschig, aber es kann getan werden. Eine schnelle Überprüfung zeigt, dass die Ergebnisse gültig sind:

V(a)ist der betrageskalierte Tiefpass-Prototyp, V(b)ist Ihr korrigiertes Ergebnis V(c)und V(d)sind die beiden Lösungen. Die Spuren wurden leicht verschoben, um eine Überlappung zu vermeiden, aber sie sind dieselben, wie durch die Gruppenverzögerung (gepunktete Spur) gezeigt. Unabhängig davon, welche geringfügigen Unterschiede bestehen, sind sie auf Rundungen zurückzuführen, nicht mehr. Wenn sie mit floatPräzision oder mehr berechnet worden wären, hätten sie sich perfekt überlappt.

Zum Beweis ist hier, wie ein Bessel 3. Ordnung auf die gleiche Weise abgeleitet werden kann ( \$R_S=2, R_L=3, \tau=1\text{s}\$):

$$\begin{align} H(s)&=\frac{15}{s^3+6*s^2+15s+15} \\ G(s)&=\frac{R_L}{L_1L_2Cs^3+(R_SL_2C+R_LL_1C)s^2+(R_LR_SC+L_1+L_2)s+R_S+R_L} \end{align}$$

Das Gleichungssystem kann auf ähnliche Weise aufgebaut werden, und es wird viele Lösungen geben (32), aber viele von ihnen haben negative oder komplexe Werte. Wenn Sie sie aussortieren, bleiben diese beiden:

$$\left\{ \begin{array}{x} L_1=0.404\,&,\quad 3.378 \\ L_2=2.87\,&,\quad 0.555 \\ C=0.288\,&,\quad 0.178 \end{array}\right.$$

Beide Lösungen funktionieren (diesmal überlasse ich alle Spuren):

1 P2000 Sep 05 2020 at 11:44

Ich kann helfen, da ich diese Filter entworfen habe, bin mir aber nicht sicher, wie die Frage formuliert ist.

RS = RL = 2? Oder Tippfehler, RS = RL / 2

Soll der Eingang mit RS übereinstimmen?

Sind das Hausaufgaben und ist das erwartete Ergebnis aus dem Antwortleitfaden?

Das ist mein Versuch. Überprüfen Sie das Diagramm anhand der Einrichtung von RS und RL in Ihrem Lehrbuch in früheren Fragen. Und ist \$\tau_0\$das gleiche wie \$1/f_0\$, der Cut-Off?