Bestimmen Sie den Abschluss eines Sets

Question

Lassen $ (V,\|\cdot\|) $ ein Vektorraum mit einer Norm $ \|\cdot\| $. Betrachten Sie für eine beliebige$ x \in V $ ein $ \varepsilon $-ball von $ x $:: $$ B_\varepsilon (x) = \{y\in V:\ \|x-y\|<\varepsilon\}. $$

Dann ist der Verschluss dieses Balls: $$ \overline{B_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Problem: Ich kann nicht verstehen, wie Sie zu diesem Ausdruck kommen. Ich kenne nur diese Art der Definition eines Verschlusses einer Menge:

Lassen $ (X,d) $ ein metrischer Raum und $ T\subseteq X $. Der Satz $$ \overline{T}=\bigcap(\{A\subseteq X:\ A\supseteq T\text{ is closed}\}) $$ heißt Schließung von $ T $.

Zuerst habe ich das eingesteckt $ \varepsilon $-ball in diese Definition:

$$ \overline{B_\varepsilon(x)}=\bigcap(\{A\subseteq V:\ A\supseteq B_\varepsilon(x)\text{ is closed}\}) $$

Von hier habe ich keine Ahnung, wie ich zur Identität kommen soll $$ \overline{B_\varepsilon (x)} = \{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Answer 1

Wenn $C$ ist geschlossen und enthält $B_{\epsilon} (x)$ dann enthält es $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$: Such dir irgendeine aus $y$ mit $\|x-y\|\leq \epsilon$ und betrachten Let $0<t<1$ und $z=x+t(y-x)$. Dann$z \in B_{\epsilon} (x)$. Das müssen wir beweisen$y \in C$. Wenn nicht, dann$y$ ist im offenen Satz $C^{c}$ so existiert es $r>0$ so dass $B_{r} (y)\subseteq C^{c}$. Aber$\|z-y\| <r$ wenn $t >1-r/\|x-y\|$. So$z \in C^{c}$ Das ist eine Teilmenge von $B_{\epsilon} (x)^{c}$. Wir sind zu einem Widerspruch gekommen. [$A^{c}$ bezeichnet das Komplement von $A$]. Das haben wir bewiesen$ \{x: \|x-y\|\leq \epsilon\} \subseteq \overline {B_{\epsilon} (x)}$.

Die umgekehrte Einbeziehung ergibt sich aus der Tatsache, dass $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$ ist selbst eine geschlossene Menge, die enthält $B_{\epsilon} (x)$.