Beweise das $p | a_i$ für einige ich

Question

Ich weiß, dass es diesbezüglich Beiträge gibt, aber ich wollte nur, dass ihr meine Beweise überprüft.

Wenn $p$ ist eine Primzahl und $p|a_1a_2...a_n$ dann $p|a_i$ für einige $1\leq i \leq n$.

Beweis:

Beachten Sie, dass für $n=2$gilt die Aussage. Angenommen, die Aussage gilt für$ 1\leq n \leq k.$ Zum $n=k+1$, $p|a_1a_2a_3....a_ka_{k+1}$. Beachten Sie, dass es einige gibt$a_j$ so dass $ 1\leq j \leq k+1$ und $gcd(p,a_j)=1$ zum $j \neq i$. Dann$p|a_1a_2a_3..a_{j-1}a_{j+1}..a_ka_{k+1}$. Dann durch Induktionshypothese,$p|a_i$ für einige $i \neq j$.

Bearbeiten:

Vielen Dank an alle, die es durchgemacht haben. Mein Argument war nicht richtig.

Vielen Dank an egreg für die Hilfe.

Answer 1

Ihr Argument ist falsch. Es gibt keine Möglichkeit, dies zu beweisen$p$ muss mit einigen der Faktoren koprime sein: Betrachten Sie den Fall $p=2$, $a_1=a_2=\dots=2$.

Es ist viel einfacher: wenn $p\mid a_1\dots a_ka_{k+1}$, Erwägen $$ p\mid (a_1\dots a_k)a_{k+1} $$ und wenden Sie an, was Sie über den Fall wissen $n=2$.

Answer 2

Es ist viel einfacher als das.

Wenn es für zwei gilt $a_1,a_2$ dass wenn $p|a_1a_2$ dann auch nicht $p|a_1$ oder $p|a_2$ (oder beides).

Und wenn es stimmt, für jeden $k\ge 2$ Anzahl von $a_1, a_2,......, a_k$ dass wenn $p|a_1a_2.....a_k$ dann $p$ teilt mindestens eine der $a_i$ (oder mehr, möglicherweise alle, aber mindestens eine).

Dann für jeden $k+1$ Anzahl von $a_1, a_2, ....., a_k, a_{k+1}$ dann wenn das Produkt $a_1a_2..... a_ka_{k+1}$ kann als das Produkt von angesehen werden $a_1a_2a_3 .....a_k$ mal $a_{k+1}$.

Das sind zwei Zahlen! so$p$ entweder teilt $a_1a_2a_3..... a_k$ oder $p$ teilt $a_{k+1}$(oder beides). Und wenn$p|a_1a_2a_3.....a_k$ es teilt mindestens einen der $a_i; i\le k$. Also entweder$p$ teilt mindestens eine der $a_i; i\le k$ oder es teilt sich $a_i; i=k+1$. So$p$ teilt mindestens eine der $a_i; 1\le i \le k+1$.

Durch Induktion gilt die Aussage also für eine endliche Anzahl von Begriffen.

======= postscript ====

Das war nicht der schwierige Teil. Es sollte offensichtlich sein. Wie jedes Produkt von$a_1a_2.....a_n$ von $n$ Begriffe können zu einem kleineren Produkt mit weniger Begriffen zusammengefasst werden. Es sollte ausreichen, dies nur für zwei Begriffe zu beweisen. $a_1, a_2$. Das obige Induktionsargument ist ein formaler Beweis dafür, dass eine solche Aussage gültig ist.

Sie müssen jedoch beweisen, dass dies für zwei Begriffe gilt:

Euklids Lemmma: Wenn $p|ab$ dann $p|a$ oder $p|b$ oder beides.

Das musst du beweisen.

=== Kritik Ihres Beweises wie geschrieben =====

Ihr Beweis wie geschrieben:

Beachten Sie, dass für n = 2 die Anweisung gilt.

Warum? Das muss bewiesen werden.

Man beachte, dass es einige aj gibt, so dass 1 ≤ j ≤ k + 1 und gcd (p, aj) = 1 für j ≤ i ist.

1. Warum? Das muss bewiesen werden.
2. Es kann nicht bewiesen werden, weil es nicht wahr ist. Erwägen$p=7; a_1 = 35$ und $a_2=49$ und wir werden gebeten, das zu beweisen, wenn $7|35\times 49$ dann $7|35$ von $7|49$. Sie behaupten das auch$\gcd(7,35) =1$ oder $\gcd(7,49)=1$. Das ist nicht wahr.

Dann ist p | a1a2a3..aj - 1aj + 1..akak + 1. Dann ist nach Induktionshypothese p | ai für einige i ≠ j.

Dies ist nicht klar, was Sie behaupten. Aber ich denke, Sie behaupten das, wenn$p|a_1a_2...a_ka_{k+1}$ und $\gcd(a_i, p)=1$ (was du eigentlich nicht weißt) dann $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}=\underbrace{\prod\limits_{j=1;k\ne i}^{k+1}a_j}_{\text{a product of }k\text{ terms}}$

Aber warum wenn $\gcd(a_i, p) =1$ würde das bedeuten $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}$? Das ist im Wesentlichen das, was wir beweisen sollen.

Das ist wenn $p|MN$ und $\gcd(N,P)=1$ woher weißt du es dann? $p|M$? Das setzt voraus, dass wenn$p|MN$ dann dann $p|M$ oder $p|N$ (was Sie beweisen sollen) also wenn $p\not \mid N$ das $p|M$. Sie können das erst annehmen, nachdem Sie Euklids Lemma überhaupt bewiesen haben.