Beweisen $e^z$ ist holomorph

Question

Ich habe das irgendwo gelesen $e^z$ist eine holomorphe Funktion, aber ich kann mir keinen einfachen Weg vorstellen, dies zu beweisen. Ich dachte daran, Cauchy-Riemann-Gleichungen zu verwenden, aber das ist wahrscheinlich übertrieben. Gibt es einen einfachen Ansatz, um zu zeigen, dass diese Funktion holomorph ist?

Answer 1

Es hängt von Ihrer Definition von ab $e^z$. Die Standarddefinition besteht darin, sie über die Potenzreihen zu definieren $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$ was leicht als konvergent überall gesehen werden kann. Dann können Sie einfach den allgemeinen Satz verwenden, dass eine Potenzreihe eine holomorphe Funktion überall innerhalb ihres Konvergenzradius definiert.

Answer 2

$e^{z}$ ist definiert als :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

Der Konvergenzradius dieser Reihe beträgt $\infty$. Somit ist es eine analytische Funktion.

Answer 3

Andere Antworten setzen voraus, dass Sie das Exponential in Form von Potenzreihen definieren. Wenn Sie definieren$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$sehen Sie folgendes:

1. Da beide Koordinatenfunktionen unendlich differenzierbar sind, $e^z$ ist in Abhängigkeit von zwei Variablen unendlich differenzierbar
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Jetzt ist es genauso einfach wie die Anwendung der Cauchy-Riemann-Gleichungen.

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Um zu klären, ob es "Overkill" ist - vor allem, wenn es funktioniert, funktioniert es . Sich um Overkill zu sorgen, wenn Sie das Problem noch nicht einmal gelöst haben, ist nun,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

Zweitens sollten Sie im Verlauf des Kurses eine Liste von Bedingungen zusammenstellen, die der Holomorphie entsprechen ("an jedem Punkt in einer offenen Menge komplex differenzierbar", "erfüllt die Cauchy-Riemann-Gleichungen an jedem Punkt in der Domäne", "entspricht ihrer Potenzreihen an jedem Punkt in einem offenen Satz ", ...).

Anstatt zu versuchen, die "beste" auf Anhieb auszuwählen, wäre es wahrscheinlich lehrreicher, die Liste durchzugehen und zu sehen, wie jede Bedingung gilt$e^z$. Das (a) gibt Ihnen Übung mit Ihrem gesamten Toolset und (b) bereitet Sie darauf vor, das Tool in Zukunft besser an das Problem anzupassen.