Binäre Matrizen und Ähnlichkeit

Question

Betrachten Sie den Raum der quadratischen Matrizen $\mathcal{B}$ die Einträge von nehmen $\{0,1\}$. Ich würde gerne orthogonale Matrizen finden$Q$ so dass für eine Matrix $B \in \mathcal{B}$, die Matrix $Q^TBQ \in \mathcal{B}$. Das heißt, die Matrix$Q^TBQ$ist auch eine binäre Matrix. Die offensichtlichen Kandidaten für$Q$ sind Permutationsmatrizen.

Gibt es andere solche orthogonalen Matrizen? Ich denke auch an andere Fälle, in denen Matrix Einträge aufnehmen kann$\{-1,0,1\}$. So finden Sie Paare$(Q_1,Q_2)$ so dass $Q_1^TBQ_2 \in \mathcal{B}$. Könnten Sie einige Ressourcen vorschlagen, die mir helfen könnten, eine Vorstellung davon zu bekommen, wie ich vorgehen soll?

Answer 1

Fall 1 (wo $\mathcal{B}$ besteht aus 0/1 Matrizen) wird nur durch Permutationsmatrizen erhalten (dh dies ist die Gruppe von orthogonalen Matrizen, die die Menge stabilisieren $\mathcal{B}$). Um dies zu zeigen, nehmen wir an$Q$ist eine orthogonale Matrix, aber keine Permutationsmatrix. Durch Auswahl einer geeigneten Matrix in$\mathcal{B}$können Sie das leicht überprüfen

1. Alle Einträge von $Q$ sind 0/1.
2. Keine Zeile oder Spalte von $Q$ hat mehr als 1 Eintrag ungleich Null.

Für eine bestimmte Matrix $B$werden diese Matrizen gesendet $B$ zu einer anderen Matrix in $\mathcal{B}$Natürlich und möglicherweise auch andere orthogonale Matrizen (zumindest wenn $B= 0$ oder wenn $B=J$, die All-One-Matrix, wird jede orthogonale Matrix senden $B \mapsto B$); Sie müssen dies ad-hoc bestimmen (obwohl es sich lohnen könnte, zu zeigen, dass die Permutationsmatrizen die einzigen sind, die unter geeigneten Annahmen funktionieren$B$;; vielleicht unter der Annahme$B$hat vollen Reihenrang). Die Sammlung all dieser Matrizen wird nicht unbedingt eine Gruppe bilden.

Für Fall 2 (wo Einträge von Matrizen in $\mathcal{B}$ sind in $\{0,\pm1\}$Ich denke, es wird leicht zu zeigen sein, dass die Gruppe der Matrizen die Menge stabilisiert $\mathcal{B}$ besteht aus Permutationsmatrizen, in denen alle Einträge sein dürfen $\pm1$ durch Modifizieren von Teil 1 der obigen Bemerkungen (hier eine mittlere Matrize $Q = \mathrm{diag}(\pm1, \ldots, \pm1)P$, wo $P$ ist eine Permutationsmatrix).

Bearbeiten: Dies kann viel komplizierter sein, wenn Sie alle Paare finden möchten$(Q_{1}, Q_{2})$ mit $Q_{1} \neq Q_{2}$. Oder vielleicht auch nicht, ich habe es nicht versucht.