Bode Plot: Berechnung der Phasenänderung

Question

Ich muss diese Übertragungsfunktion zeichnen

Beim Zeichnen des Phasen-Frequenz-Diagramms habe ich Probleme, die Phasenänderung zwischen 10 und 10 ^ 1,5 zu berechnen. Nach meinem Verständnis beträgt die Phase bei Frequenz = 10 -90 °, dann gibt es eine Phasenänderung und die Steigung sollte mit einer Geschwindigkeit von 45 ° / Dez ansteigen, aber es gibt eine Frequenzänderung bei 10 ^ 1,5. Um die Grad zu berechnen, bis die Kurve 10 ^ 1,5 erreicht, habe ich eine einfache Trigonometrie angewendet, so dass sich die Kurve von Frequenz = 10 auf 10 ^ 1,5 um 10,80 ° nach oben bewegt hat. Diese Antwort ist jedoch falsch und das tatsächliche Bode-Diagramm zeigt, dass sich die Kurve von Frequenz = 10 auf 10 ^ 1,5 um 22,5 ° nach oben bewegt hat. Könnte mir bitte jemand erklären, wie man die Phasenänderung von Frequenz = 10 auf 10 ^ 1,5 richtig berechnet?

Answer 1

Nun, wir haben die folgende Übertragungsfunktion:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{X}\left(\text{s}\right)}{\text{Y}\left(\text{s}\right)}=\frac{\left(1+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\beta}\cdot\text{s}\right)}{\left(1+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}\right)}\tag1$$

Wo \.$\alpha\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\beta\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\gamma\in\mathbb{R}_{\ge0}\$und \$\epsilon\in\mathbb{R}_{\ge0}\$.

Wir können die RHS der Übertragungsfunktion erweitern:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right)=\frac{1+10^{-\beta}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\cdot10^{-\beta}\cdot\text{s}}{1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\cdot10^{-\epsilon}\cdot\text{s}}=$$ $$\frac{1+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2}{1+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2}=$$ $$\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+1}\tag2$$

Wenn wir nun mit sinusförmigen Funktionen arbeiten, können wir \ ersetzen$\text{s}=\text{j}\omega\$::

$$\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)=\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{j}\omega+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{j}\omega+1}=$$ $$\frac{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}}\tag3$$

Jetzt können wir das Argument auf beiden Seiten vertreten:

$$\displaystyle\arg\left(\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)\right)=\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)-\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)\tag4$$

Wir bekommen also ein paar verschiedene Fälle:

1. Wann \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2=0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag5$$
2. Wann \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2>0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2}\right)\tag6$$
3. Wann \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2<0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}\right)\tag7$$
4. Wann \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2=0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag8$$
5. Wann \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2>0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\arctan\left(\frac{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2}\right)\tag9$$
6. Wann \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2<0\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}\right)\tag{10}$$

---

Jetzt können wir dies auf Ihr Problem anwenden. Wir wissen, dass \$\alpha=2\$, \$\beta=\frac{5}{2}\$, \$\gamma=0\$und \$\epsilon=\frac{9}{2}\$. So können wir die verschiedenen Fälle herausarbeiten:

1. Wann \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{11}$$
2. Wann \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{12}$$
3. Wann \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{13}$$
4. Wann \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{14}$$
5. Wann \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{15}$$
6. Wann \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, wir bekommen: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{16}$$

Wenn Sie Mathematica verwenden, habe ich einen Code geschrieben, den Sie verwenden können:

Plot[Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[(100*(10 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/(100*(10 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}] - 
  Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[((100000 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/((100000 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}], {\[Omega], 10, 10^(3/2)}, 
 AxesLabel -> {HoldForm[\[Omega][rad/s]], HoldForm[Arg[H[s]]]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Argument], LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]

Die Ausgabe ergibt:

Das Zeichnen eines größeren Bereichs ergibt: