Bolyais Parallelwinkelformel？
Ich habe den folgenden Satz in einem auf Japanisch geschriebenen Buch gesehen . Dem Buch zufolge scheint dieser Satz das Ergebnis von Boyais Untersuchung der Eigenschaften zu sein, die parallele Linien unter nichteuklidischen Bedingungen erfüllen.
Die wörtliche Übersetzung des japanischen Namens dieses Theorems kann "Bolyais Parallelwinkelformel" sein. Da dieses Buch für die breite Öffentlichkeit geschrieben wurde und eine zu grobe Beschreibung enthält, kann ich die detaillierte Aussage des Satzes nicht spezifizieren.
【Meine Frage】
(1) Wie heißt dieser Satz auf Englisch?
(2) Wie lautet die genaue Aussage dieses Satzes?
Vielleicht trifft dies auf die (obere Hälfte) der bifiden hyperbolischen Ebene zu, aber nicht auf die $S^2$und ich richtig?
Was ich wissen möchte, ist, welcher Satz aus "einigen Prämissen ‡" + "zwei parallele Linien können gezeichnet werden" abgeleitet werden kann.
‡. Wahrscheinlich Axiome und Kanone anderer euklidischer Geometrie als des parallelen Postulats , habe ich Recht?
【Theorem？】
Angenommen, es gibt zwei † parallele Geraden, die parallel zur Geraden 'a' sind und durch den Punkt 'P' verlaufen. Wenn zu diesem Zeitpunkt die Länge der senkrechten Linie (PH), die vom Punkt P zur geraden Linie 'a' gezogen wird, x ist und der Winkel, der durch diese senkrechte Linie (PH) und die parallele Linie gebildet wird, θ ist, dann folgt die Gleichung ist befriedigt.$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x/k\right)\right) \tag{1※}$$†. Durch die Verwendung der japanischen Sprache können wir entweder "nur zwei" oder "mindestens zwei" verschleiern. Ich weiß nicht, in welcher Bedeutung die "zwei" geschrieben wurden.
※. Ich kann keine Beschreibung für den Parameter 'k' in Gleichung 1 finden.
Vielleicht ähnelt es dem Inhalt des Wikipedia-Artikels "Winkel der Parallelität" . Der Artikel geht jedoch nicht davon aus, dass "zwei parallele Linien gezeichnet werden können". Die Formel auf dieser Seite lautet jedoch in unserer Notation wie folgt. Das heißt, es scheint für k = 1 der Fall zu sein.$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x\right)\right) \tag{2}$$
Wenn wir in Gleichung 1 x bestimmen, scheint das θ eindeutig bestimmt zu sein, habe ich Recht? Daher frage ich mich auch, wo Platz für zwei (oder mehr) gerade Linien ist. (Bedeutet das, dass wir mehr als eine senkrechte Linie (PH) zeichnen können?)
Antworten
Die Antwort hier versucht, das Diagramm in Bezug auf das gegenwärtige Wissen mit dem Ursprung der hyperbolischen Geometrie zu interpretieren. Ich habe nach Community Wiki gesucht ...
Für die zweidimensionale hyperbolische Oberfläche eingebettet in $ \mathbb R^3:$
Wenn wir nehmen $x$ um den vom Eckzahnäquator berechneten Polar- / Zentralwinkel darzustellen, und $\theta $ Als Parallelitätswinkel, den die hyperbolische Geodät zum Meridian einer Pseudosphäre in ihrer Tangentialebene bildet, haben wir die parametrische Gleichung einer Pseudosphäre mit Gaußscher Krümmung, dem Eckzahnäquatorradius:
$$ K= {-1}/{a^2},a=1, \; k=a $$
$$ \sin \theta = \text{sech x} = r/a $$
Am Eckzahnäquator $ (\theta=\pi/2, x=0) $. In unendlicher Entfernung sind dies$ (0,\infty)$ beziehungsweise.
Hier haben wir
Radius in Zylinderkoordinaten, Polarwinkel, Koordinate entlang der Symmetrieachse, Winkel durch Tangente der hyperbolischen geodätischen zur Meridian- und Symmetrieachse,
jeweils entsprechen als:
$$ r, t, z, \psi= \phi, $$
im Zusammenhang mit
$$ r= a \text{ sech t}, z= a (t- \tanh t)$$ und
$$ \sin \psi= r/a, \text{or} \sin \phi= r/a \; $$
für die Pseudosphäre von Beltrami oder das Netz von Chebychev unter Berücksichtigung der Sinus-Gordon-Differentialgleichung
$$ \dfrac{d(2\psi )}{ds} = \sin 2 \psi,\; \dfrac{d(2\phi )}{ds} = \sin 2 \phi; $$
Es gibt nur zwei hyperbolische Parallelen zur Symmetrieachse, die durch einen Punkt verlaufen. Diese beiden hyperbolischen Parallelen sind zwei asymptotische Linien, die einen Winkel bilden$2\psi$ zwischen ihnen wie in rot gezeigt.
Die obigen Gleichungen und Basiskonzepte stimmen mit dem modernen Verständnis der hyperbolischen Geometrie der Pseudosphäre überein.
Das frühe Diagramm des Bolyai
Wenn wir Symbole verwenden, die im Diagramm angegeben sind, interpretieren Sie für eine vollständige Entsprechung:
$$( x=PH ) \rightarrow r,\; \theta \rightarrow (\pi/2-\phi=\pi/2-\psi)$$
dh wann $\theta$In dem Diagramm ist der Winkel angegeben, den die hyperbolische Geodät zum parallelen Kreis und nicht zum Meridian bildet. Dann gibt es eine vollständige Übereinstimmung imho mit dem aktuellen Verständnis.
Man kann nicht übersehen, dass die Bolyai Symbole verwendeten, die für jeden Punkt $P$ von der Pseudosphäre zur Achse gibt es einen variablen Normalabstand $PH$ vom Eckzahnäquator zur Achse im euklidischen Sinne, $ a>PH>0.$
Andererseits besteht ein konstanter hyperbolischer Abstand$HP$ zwischen der hyperbolischen geodätischen durch $P$ markiert als $b$ von Bolyai und seiner parallelen Linie markiert $a$ enthält $H$weil diese beiden Linien hyperbolische Parallelen sind .