Cantors Theorem Beweis

Question

Ich arbeite an meinem eigenen Beweis für den Satz von Kantoren, dass es für jede Menge A keine Funktion f: A -> P (A) gibt, die auf ist. Ich habe mich gefragt, ob es möglich wäre, dies zu beweisen, indem gezeigt wird, dass die Kardinalität von A kleiner als P (A) ist, indem der Beweis erbracht wird, dass die Elemente der Menge A n und P (A) 2 ^ n sind, also n <2 ^ n für alle natürlichen Zahlen (durch Induktion). und weil die Kardinalität geringer ist, ist es nicht surjektiv, da nicht alle Elemente der Codomäne von der Domäne abgebildet werden?

Answer 1

Wenn Sie versuchen, dieses Argument auf unendliche Mengen auszudehnen, gehen Sie wie folgt vor:

• Lassen $\alpha$ sei die Kardinalität von $A$.
• Dann die Kardinalität von $\mathcal P(A)$ ist $2^\alpha$im Wesentlichen durch die Definition der Notation $2^\alpha$.
• Dann wollen wir die Tatsache nutzen, dass $\alpha < 2^\alpha$ ...

... aber die Definition (oder eine äquivalente Definition) der Behauptung "$\alpha < 2^\alpha$"ist genau das gibt es keine auf karte von $A$ zu $\mathcal P(A)$.

Anders als bei endlichen Kardinälen, bei denen es kalkülbasierte oder kombinatorische Beweise dafür gibt $n<2^n$Wir haben keinen Beweis für die Behauptung $\alpha < 2^\alpha$ für unendliche Kardinäle $\alpha$ Das ist einfacher als die ursprüngliche Aussage zu beweisen.