Cauchy-Schwartz-Ungleichheitsproblem

Question

Lassen $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ nichtnegative reelle Zahlen sein.

(a) Beweisen Sie das $$(a^2 + b^2)^2 (c^4 + d^4)(e^4 + f^4) \ge (ace + bdf)^4.$$

(b) Beweisen Sie das $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) \ge (ace + bdf)^2.$$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich beide Probleme angehen soll. Ich glaube, ich sollte Cauchy-Schwartz verwenden, bin mir aber nicht sicher. Jede Hilfe wäre dankbar! Danke im Voraus.

Answer 1

Dies sind beide CS-Ungleichheitsanwendungen, die Sie selbst ausprobieren sollten. Hier ist der erste:

1. $(c^4+d^4)(e^4+f^4) \geqslant (c^2e^2+d^2f^2)^2$
2. $(a^2+b^2)(c^2e^2+d^2f^2) \geqslant (ace+bdf)^2$

Kombinieren Sie nun beide, um das zu erhalten, was Sie wollen.