Das "letzte Asse"

Question

Sie haben ein durch und durch gemischtes Kartenspiel mit 52 Karten. Jedes Mal, wenn Sie eine Karte aus dem Stapel auswählen. Die gezogene Karte wird zurück in das Deck gelegt und alle 52 Karten werden erneut gründlich gemischt. Sie setzen diesen Vorgang fort, bis Sie alle vier verschiedenen Asse gesehen haben. Was ist der erwartete Wert und die Standardabweichung davon, wie oft Sie eine Karte ziehen müssen, bis Sie alle vier verschiedenen Asse gesehen haben?

Das Problem ist natürlich, dass ich immer wieder dasselbe Ass ziehen kann, also sollte ich die Anzahl der Karten zählen, die ich zwischen den Karten ziehe $k-1$th Erfolg und die $k$th Erfolg (dh zum Beispiel die gezogenen Karten zwischen dem dritten und dem vierten Ass, die sich voneinander unterscheiden). Aber die Tatsache, dass die Asse anders sein müssen, hängt damit zusammen, dass dieses Ass nach dem Ziehen eines Asses wieder ins Deck gelegt wird. Wenn ich das dritte Ass ziehe, beginnt das "Spiel" von vorne, daher muss ich die Anzahl der Versuche berechnen (gezogene Karten) notwendig, um den ersten Erfolg zu haben (dh das vierte und letzte Ass, das noch nicht gesehen wurde).

Also wenn $X_i=[$# gezogene Karten vor dem $i$das Ass$]$, wir haben das $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Wie kann ich das Problem lösen? Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Lassen $X$ bezeichnen die Zufallsvariable, die die Anzahl der zu erhaltenden Versuche angibt $4$Asse. Wir können uns teilen$X$ in $4$ separate Zufallsvariablen, die wir aufrufen werden $X_1$ (die Anzahl der Versuche, um das erste Ass zu ziehen), $X_2$ (die Anzahl der Versuche, um das zweite Ass nach dem ersten zu ziehen), $X_3$ (die Anzahl der Versuche, um das dritte Ass nach dem zweiten zu ziehen) und $X_4$(Die Anzahl der Versuche, um das vierte Ass nach dem dritten zu ziehen). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variablen ist die geometrische Verteilung. Für eine geometrische Verteilung haben wir$E[Y]=\frac1p$ und $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

Die Chance, unser erstes Ass in einer Prüfung zu ziehen, ist $\frac4{52}=\frac1{13}$ damit $E[X_1]=13$ und $\text{Var}(X_1)=156$. Die Chance, unser drittes Ass in einer Prüfung zu ziehen, ist$\frac3{52}$ damit $E[X_2]=\frac{52}3$ und $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. Die Chance, unser drittes Ass in einer Prüfung zu ziehen, ist$\frac2{52}=\frac1{26}$ damit $E[X_3]=26$ und $\text{Var}(X_3)=650$. Die Chance, unser drittes Ass in einer Prüfung zu ziehen, ist$\frac1{52}$ damit $E[X_3]=52$ und $\text{Var}(X_4)=2652$.

weil $X_1$, $X_2$, $X_3$ und $X_4$ unabhängig sind, können wir die erwarteten Werte und Varianzen direkt addieren, um den erwarteten Wert und die Varianz von zu erhalten $X$. Wir haben

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

und

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Um die Standardabweichung zu finden, nehmen wir die Quadratwurzel der Varianz, das heißt:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$