Der "echte Schmetterlingseffekt"
Diese Frage ergibt sich aus der Verwirrung, die ich nach dem Lesen dieses beliebten Blogposts von Sabine Hossenfelder empfinde . Es basiert auf diesem Papier, das leider kostenpflichtig ist.
Der Anspruch ist der folgende:
Vielmehr wollte Lorenz, wie in seiner Tellus-Arbeit von 1969 dargestellt, mit dem Ausdruck die Existenz einer absoluten zeitlich begrenzten Vorhersagbarkeitsbarriere in bestimmten mehrskaligen Fluidsystemen beschreiben, was eine Aufschlüsselung der kontinuierlichen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen für ausreichend große Vorlaufzeiten impliziert.
Der Zusammenbruch der Kontinuität war für mich eine völlige Überraschung, und tatsächlich ist hier mein Entwurf des Beweises für das Gegenteil:
- Betrachten Sie den linearen Vektorraum von Funktionen mit kompakter Unterstützung über den Phasenraum, ergänzt durch das Übliche $L_2$ Norm.
- Definieren Sie die Wirkung des (klassischen) Hamiltonianers auf die Funktionen durch $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Beachten Sie, dass bei dieser Definition der Operator selbstadjunkt ist (kann durch ein Argument bewiesen werden, das die Integration durch Teile beinhaltet).
- Nach dem Satz von Stone muss es eine stark kontinuierliche 1-parametrische Gruppe von Zeitübersetzungen geben, daher ist die Aufschlüsselung der kontinuierlichen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen unmöglich.
Da meine Schlussfolgerung offenbar der Zusammenfassung in der Zusammenfassung von Palmer et al. Widerspricht, möchte ich wissen, was genau schief geht, was zu einer zeitlich begrenzten Vorhersagbarkeitsbarriere in Systemen führen kann, die den "echten Schmetterlingseffekt" aufweisen.
Update: ein viel einfacheres Argument von einem Freund von mir: nehmen$U(T/2)$ (Evolutionsoperator, der dem Zeitintervall zugeordnet ist $T/2$ wo $T > 0$ist die vermeintliche Vorhersagbarkeitsbarriere). Durch die Konstruktion ist es kontinuierlich, wie$T / 2 < T$. Daher,$U(T/2)^4 = U(2T)$ist auch kontinuierlich. Dies ermöglicht es uns, in die Zukunft zu schauen, die weiter entfernt ist als die Barriere mit einem kontinuierlichen Operator, was im Widerspruch zur ursprünglichen Annahme steht. Wir schließen daraus$T$ muss entweder unendlich oder null sein.
Antworten
Es gibt einige Probleme mit dem Beitrag auf der Website. Ich kann nicht verstehen, wie man Form- Navier-Stokes-Gleichungen , die PDEs sind , an ein ODE- System (Lorenz-Gleichungen?) Übergibt, das Gegenstand der Diskussion zu sein scheint (auch in Bezug auf die Formulierung der Frage von Prof.Legolasov). Leider habe ich keinen Zugang zum Papier.
Aus rein mathematischer Sicht ist alles klar, so dass das Problem die physikalische Modellierung betreffen muss : Eine gewisse Aufschlüsselung der mathematischen Beschreibung sollte aus physikalischen Gründen auf einer bestimmten Ebene erfolgen, aber ohne das Papier zu lesen, ist es schwierig, darüber zu diskutieren.
Hier finden Sie eine kurze Beschreibung des mathematischen Szenarios hinsichtlich der Abhängigkeit von Anfangsdaten.
Jedes (autonome) ODE-System als Lorenz 'kann als geschrieben werden$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ wo $x\in M$, $M$ einige sein $C^k$ Verteiler und $F$ ein $C^k$ Vektorfeld auf $M$ mit $k\geq 1$.
Nun ist es ein Standardergebnis der ODE-Theorie, dass, wenn $x=x(t|x_0)$ ist die maximale Lösung von (1) mit Anfangsbedingung $x(0)= x_0\in M$, also in einem offenen Intervall definiert $I_{x_0}\ni 0$, dann
(1) das Set $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ ist offen in $\mathbb{R}\times M$
(2) die Karte $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ ist gemeinsam $C^k$ (und $C^{k+1}$ in der Variablen $t$).
Daher gibt es im gesamten Bereich der Lösung a $C^k$(daher kontinuierliche) Abhängigkeit von Anfangsdaten. Insbesondere beim Reparieren einiger$T$, die Karte $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ wo $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$ist notwendigerweise kontinuierlich.
Wenn es sich stattdessen um richtige PDEs handelt, Navier-Stokes-Gleichungen genau, sind die Dinge viel heikler und bekanntlich. Nur der Beweis eines Existenz- und Eindeutigkeitssatzes für gegebene Anfangsdaten (die jetzt Funktionen sind) ist problematisch. Noch problematischer ist die kontinuierliche Abhängigkeit vom Anfangsdatum.
In Bezug auf den Vorschlag von Prof. Legolasov habe ich einige Probleme damit.
(a) Beziehen wir uns auf das ODE-System von Lorenz? Das ist nicht Hamiltonianisch, da die Mannigfaltigkeit eine seltsame Dimension hat, also was ist$H$?
(b) Verwenden wir stattdessen eine nicht symplektische Poisson-Struktur?
(c) Als nächstes sogar unter Bezugnahme auf $L^2(M)$ (welches Maß?) über eine Poisson-Mannigfaltigkeit $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ ist zum Beispiel in symmetrisch $\mathbb{R}^{2n}$Bezugnehmend auf die natürliche euklidische Struktur und die symplektische Standardstruktur in orthonormalen kartesischen Koordinaten, aber nicht unbedingt im Wesentlichen selbstadjunkt (im Wesentlichen ist die Selbstadjunktheit der PDE auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ein heikles Thema, und allgemeine Ergebnisse sind für elliptische Operatoren und bekannt$-i\{H, \cdot\}$ ist im Allgemeinen nicht elliptisch [welche Riemannsche Metrik im Allgemeinen, wenn wir nur mit einer Poisson-Struktur ausgestattet sind?]).
(d) Schließlich, selbst wenn wir eine einheitliche, stark kontinuierliche Gruppe erzeugen, die durch eine selbstadjunkte Erweiterung von erzeugt wird $-i\{H, \cdot\}$Ich kann den Zusammenhang mit der kontinuierlichen Abhängigkeit von den Anfangsdaten der ODE nicht erkennen $H$.
Hier ist was wahrscheinlich fehlt.
Diese Vorhersagbarkeitsgrenze erforderte die Existenz eines Rückkopplungsmechanismus, der während jedes Zeitschritts in der Simulation arbeitet. Die Rückkopplung verstärkt kumulativ die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen und vergrößert die Auswirkungen von Rundungs- und Diskretisierungsfehlern in den Algorithmen und bewirkt dadurch, dass das System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen divergiert. Dieser Effekt tritt nicht auf, wenn der Rückkopplungspfad unterbrochen ist.