Der Modularitätssatz als Sonderfall der Bloch-Kato-Vermutung

Question

Auf der Homepage des diesjährigen CRM-Spezialsemesters fand ich die interessante Aussage, dass der Modularitätssatz (früher die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung) ein Sonderfall der Bloch-Kato-Vermutung für das symmetrische quadratische Motiv einer elliptischen Kurve ist.

Die Bloch-Kato-Vermutung ist, wie ich weiß, die folgende Aussage: $$\text{ord}_{s=0}L(s,V)=\text{dim }H_{f}^{1}(K,V^{*}(1))-\text{dim }H^{0}(K,V^{*}(1))$$ wo $H_{f}^{1}$ist die Bloch-Kato Selmer Gruppe. Ich weiß nicht viel über Motive und ich weiß nicht, was das symmetrische quadratische Motiv einer elliptischen Kurve ist. In der Formulierung der obigen Bloch-Kato-Vermutung nehme ich$V$eine geometrische Galois-Darstellung sein. Meine Frage ist, wie sehen wir den Modularitätssatz als diesen Sonderfall der Bloch-Kato-Vermutung?

Answer 1

Das sagt der Link nicht. Um zu zitieren (Hervorhebung von mir):

... in dem diese Vermutung auf eine spezielle Instanz der Bloch-Kato-Vermutung für das symmetrische quadratische Motiv einer elliptischen Kurve reduziert wurde .

Das bedeutet etwas ganz anderes. Man könnte auch sagen, dass Wiles den Beweis auf die Tatsache "reduziert" hat, dass$X(3)$ und $X(5)$ haben die Gattung Null, oder dass er den Beweis auf das Langlands-Tunnell-Theorem "reduziert" hat, dass (projektiv) $A_4$ und $S_4$Darstellungen sind automorph. Shimura-Taniyama ist nicht mehr ein "Sonderfall" dieser Behauptungen als der Bloch-Kato-Vermutung.

Das Relevantere ist, dass ein (induktiver) Schritt in Wiles 'Argumentation den Vergleich der Größe eines bestimmten Kongruenzmoduls (Messen von Kongruenzen zwischen einer Höckerform und anderen Formen eines festen Niveaus) und eines relativen Tangentenraums (Messen von Kongruenzen zwischen einem) erforderte Galois-Darstellung und eine bestimmte vorgeschriebene Familie von Verformungen dieser Darstellung). Hida hatte bereits gezeigt, dass die erstere Größe als Sonderwert der adjungierten L-Funktion interpretiert werden kann. Wenn man also wüsste, dass der Wert dieser adjungierten L-Funktion (geteilt durch die richtige Periode, um eine ganze Zahl zu erhalten) durch dieselbe Potenz von teilbar ist$p$ Als Reihenfolge des relativen Tangentenraums (der als Bloch-Kato-Selmer-Gruppe interpretiert werden könnte, würde der induktive Schritt gelten. Diese gewünschte Gleichheit kann tatsächlich als Sonderfall der Bloch-Kato-Vermutung interpretiert werden, wenn auch nicht formuliert für $\mathbf{Q}_p$ Darstellungen wie Sie es getan haben, aber in der genaueren Form von Bloch und Kato für $p$-adische Gitter in Galois-Darstellungen, die aus Motiven stammen $M$. Im Kontext Ihrer Gleichung verschwindet der L-Wert auf der LHS nicht trivial, da er am Rand des kritischen Streifens liegt. Man kann also (angesichts des fraglichen Motivs) hoffen, einen geeigneten Zeitraum zu definieren$\Omega$ so dass $L(s,M)/\Omega \in \mathbf{Q}^{\times}$und dann (unter Berücksichtigung lokaler Fudge-Faktoren) die resultierende ganze Zahl (oder zumindest die $p$-power part) als Befehl einer Bloch-Selmer-Gruppe $H^1_f(\mathbf{Q}, T \otimes \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$, wo $T$ ist ein $\mathbf{Z}_p$-Gitter innerhalb einer Galois-Darstellung im Zusammenhang mit $M$.

In diesem speziellen Fall können Sie die Sorte nehmen $E \times E$. Dann das Motiv$M$ist ein geeignetes Stück davon. Dann interessiert man sich für den besonderen Wert$L(M,2)$. Das entsprechende Gitter$T$ kann dann im Inneren gefunden werden

$$H^2(E \times E,\mathbf{Z}_p(1))$$

Genau genommen gibt es ein Gitter, das dem Tate-Modul von entspricht $E$ beim $p$. Bezeichnen Sie das Dual dieses Gitters mit$\rho$. Das Gitter$\rho$ ist isomorph zu $H^1(E,\mathbf{Z}_p)$. Nach der Kunneth-Formel findet man dann eine Kopie von$\rho^{\otimes 2}$ Innerhalb $H^2(E \times E,\mathbf{Z}_p)$und damit eine Kopie von $\rho^{\otimes 2}(1)$innerhalb der Gruppe oben. Schon seit$\rho$ hat Dimension $2$gibt es eine Zersetzung (let $p$ ungerade sein) $\rho^{\otimes 2} \simeq \mathrm{Sym}^2(\rho) \oplus \mathbf{Z}_p(-1)$, und dann $T$ wird identifiziert mit $\mathrm{Sym}^2(\rho)(1)$. (Entschuldigung, wenn ich die Verdrehung falsch verstanden habe, ist es irritierend, gerade zu bleiben).

Es könnte auch erwähnenswert sein, dass Wiles bekanntermaßen keine Ergebnisse für die Bloch-Kato-Vermutung verwendet hat, sondern bewiesen hat, was er selbst brauchte, und daraus einige Sonderfälle der Bloch-Kato-Vermutung abgeleitet hat, insbesondere eine automorphe Formel für die Reihenfolge der Gruppe

$$H^1_f(\mathbf{Q},\mathrm{Sym}^2(\rho)(1)).$$

(Die Galois-Darstellung kann auch als Spur-Null-Matrizen identifiziert werden $\mathrm{ad}^0(\rho)$Beachten Sie, dass die Wiles'sche Formel offensichtlich impliziert, dass diese Gruppe endlich ist. Aber selbst die Endlichkeit dieser Formel war für eine allgemeine elliptische Kurve vor der Arbeit von Wiles unbekannt. (Obwohl es Flach in einigen Fällen für modulare elliptische Kurven bekannt war; nicht so nützlich für den Nachweis der Modularität.) Viele moderne Modularitätsnachweise (die denselben zugrunde liegenden Mechanismus wie Wiles verwenden) führen daher auch zu einigen Ergebnissen gegenüber Bloch-Kato Vermutung für nebenstehende Darstellungen.