Die Ito-Formel wird auf ein Ito-Integral angewendet

Question

Ich lese Oksendals Buch über SDEs. Er verwendet die Ito-Formel als Ito-Integral, um den Ito-Repräsentationssatz zu beweisen, aber die Berechnungen verwirren mich.

Lassen $Y_t = \exp^{\int_0^t h(s) \,dBs - \frac{1}{2} \int_0^t h^2(s)\,ds}$.

Das Buch sagt: nach Itos Formel:

$dY_t = Y_t(h(t) dB_t - \frac{1}{2}h^2(t)dt) + \frac{1}{2}Y_t(h(t) dB_t)^2$. Ich bin verwirrt, wie ich diesen Ausdruck erhalten kann. Beachten Sie, dass das Buch zu diesem Zeitpunkt nur die grundlegende Ito-Formel und noch keine anderen Techniken eingeführt hat.

Wenn $g(t,x) = \exp^{\int_0^t h(s) dx - \frac{1}{2}\int_0^t h^2(s)\,ds}$ dann $Y_t = g(t,B_t)$.

Ich muss also rechnen $\frac{\partial g}{\partial t}, \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ die Formel verwenden.

Jetzt bin ich mit der Berechnung der folgenden Ableitungen festgefahren: $\frac{\partial g}{\partial t} \int_0^t h(s)dx$ und $\frac{\partial g}{\partial x} \int_0^t h(s) dx$. Meine Verwirrung ist hauptsächlich, dass ich nicht weiß, wie ich in Bezug auf eine Variable unterscheiden soll, die auch im Integrator des Integrals erscheint.

Für die erste Ableitung denke ich informell, dass ich schreiben kann $\int_0^t h(s) \,dx = \int_0^t h(s) x'(s) \,ds$ damit ich den Grundsatz der Analysis anwenden kann (dh der Integrator ist $ds$nicht $dx$). Ist das richtig? Für die zweite Ableitung weiß ich nicht, wie ich in Bezug auf unterscheiden soll$x$.

Hilfe geschätzt.

Answer 1

Lassen $X_t=\int_0^t h(s) \,dBs - \frac{1}{2} \int_0^t h^2(s)\,ds$ wir haben, dass dies geschrieben werden könnte als $dX_t= h(t)dB_t-1/2 h^2(t)dt$.

Daher lassen $Y_t=\exp(X_t)$ Sie können die Itô-Formel anwenden:

\begin{align} dY_t&= Y_t dX_t+\frac 1 2 d\langle X\rangle_t\\ &=Y_t[ h(t)dB_t- \frac 1 2 h^2(t)dt]+\frac 1 2 h^2(t)dt. \end{align}

Beachte das $(dB_t)^2$ ist eine euristische Methode, um die (Differential der ...) quadratischen Variation zu bezeichnen, die gleich ist $dt$.