Die partielle Ableitung der Gradientenfunktion

Question

Ich schäme mich, diese grundlegende Frage zu stellen, bin aber immer noch verwirrt.

Gegebene Funktion $f \in C^2$, zeige, dass $g:=\text{grad} \, f$ ist ein $C^1$ Funktion.

Ich verstehe, wir müssen zeigen, dass die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von $g$ existieren und sind kontinuierlich, aber seit $g : U \to \mathbb{R}^n$ ist eine vektorwertige Funktion. Wie finde ich die partiellen Ableitungen erster Ordnung heraus?

Bearbeiten: Ich habe versucht, die Kettenregel anzuwenden und daraus geschlossen $$D_1(g\circ f)(x)=D_1 D_{1}^2f + \dots + D_1 D_{n}^2f$$ und seit $f$ ist ein $C^2$ Funktion, die Ableitungen zweiter Ordnung von $f$ sind stetig und damit die Ableitung erster Ordnung von $g$ist auch kontinuierlich. Bin ich auf dem richtigen Weg?

Answer 1

Zuerst, $g$ ist genau dann differenzierbar, wenn seine Komponenten vorhanden sind, sodass wir jede Komponente von betrachten können $g$individuell. Betrachten wir das$i$th Komponente $$ g_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}. $$ Jetzt $f$ist zweimal differenzierbar, so können wir die rechte Seite und im weiteren Sinne die linke Seite unterscheiden. Der Ausdruck für die Ableitung von$g_i$ ist $$ \frac{\partial g_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} $$