Dimension des Hilbert-Raumtensorprodukts

Question

Lassen $H_1, H_2$ seien Sie Hilbert-Räume und betrachten Sie ihr Hilbert-Raumtensorprodukt $$H_1 \hat{\otimes} H_2$$ Dies ist die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts $H_1 \otimes H_2$ in Bezug auf das einzigartige innere Produkt auf $H_1 \otimes H_2$ befriedigend $$\langle x \otimes y, x' \otimes y'\rangle = \langle x , x' \rangle \langle y, y'\rangle$$

Wenn $E_1$ ist eine orthonormale Basis für $H_1$ und $E_2$ ist eine orthonormale Basis für $H_2$Das habe ich bewiesen $$E_1 \otimes E_2:= \{x \otimes y: x \in E_1, y\in E_2\}$$ ist eine orthonormale Basis für $H_1 \hat{\otimes} H_2$. Daraus möchte ich schließen$$\dim(H_1 \hat{\otimes} H_2 ) = \dim (H_1) \dim (H_2)$$(Produkt der Kardinalzahlen). Ich sehe, dass es ausreicht, die Karte zu überprüfen$$E_1 \times E_2 \to E_1 \otimes E_2: (x,y) \mapsto x \otimes y$$ ist injektiv, aber ich kann nicht verstehen, warum dies gilt: $$x \otimes y = x' \otimes y' \implies x= x', y = y'$$ muss nicht für allgemeine reine Tensoren gelten, aber vielleicht können wir etwas mehr sagen, weil wir die Orthogonalität haben?

Answer 1

Hinweis: Wenn $X,Y$ sind Vektorräume und $\{x_1,\dots,x_n\}\subset X$ ist also linear unabhängig $\sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i=0$ impliziert, dass $y_i=0$ für alle $i$.

In Ihrem Fall: Nehmen Sie das an $x\neq x'$ oder $y\neq y'$. WLOG nimmt das an$x\neq x'$. Wenn$x\otimes y=x'\otimes y'$, dann $x\otimes y + x'\otimes(-y')=0$. Schon seit$\{x,x'\}$ linear unabhängig sind, ergibt dies $y=-y'=0$, damit $y=y'=0$, ein Widerspruch, da $y,y'$ sind Einheitsvektoren.

Answer 2

Annehmen $(x,y)\ne (x',y')$ und betrachten Sie eine bilineare Karte $f:H_1\times H_2\to\Bbb C$ definiert auf den Basen als $$f(e_1,e_2)=\left\{\matrix{1&\text{ if }e_1=x\text{ and }e_2= y\\ 0&\text{ otherwise.}}\right.$$ Dies wirkt sich durch $H_1\otimes H_2$ also unterscheiden $x\otimes y$ und $x'\otimes y'$.

Answer 3

Wie Sie dies angehen sollten, hängt letztendlich von Ihrer Definition des (algebraischen) Tensorprodukts ab.

Ein Ansatz lautet wie folgt: Es genügt, dies zu beachten $x \otimes y = x' \otimes y'$ nur wenn es einen Skalar gibt $\alpha$ für welche $\alpha x = x'$ und $y = \alpha y'$. Wenn$x',x$Sind sie Teil derselben orthonormalen Basis, dann sind sie entweder gleich oder können keine Vielfachen voneinander sein. Ihre Karte ist also in der Tat injektiv.