Dimension eines Moduls und einfache Module

Question

Ich versuche, mich mit diesen neuen Konzepten zu beschäftigen. Angenommen, ich habe ein Szenario, in dem$V$ ist ein kostenloses Modul und auch $V$ ist ein endlichdimensionales Modul, wenn V einfach ist, muss $V$ Dimension sein $1$?

Def:

Ein Modul gilt als einfach, wenn es sich um ein Submodul eines solchen Moduls handelt $\{0\}$ oder selbst.

Mein Gedanke ist, wenn wir eine haben $A$-Modul $V$ was zufällig auch endlichdimensional ist dann sagen $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, mit den Skalaren kommen aus $A$Wenn wir dann eine geeignete Teilmenge solcher Basisvektoren nehmen, wäre ihre Spanne sicherlich ein geeignetes Teilmodul von $V$? Daher$V$ ist nur dann einfach, wenn $n=1$? (Natürlich ist das Gegenteil nicht der Fall, wenn$n=1$ dann wäre es nicht unbedingt einfach)

Ich habe das Gefühl, dass etwas mit meiner Argumentation nicht stimmt. Ich muss etwas aus Modulen mit linearer Algebra verwechselt haben.

Answer 1

wenn $V$ ist einfach, muss $𝑉$ Dimension 1 sein?

Nee. Die Einfachheit eines Moduls einer Algebra über einem Feld sagt nicht viel über seine Dimension aus.

Betrachten Sie den Matrixring $R=M_2(F)$ für ein Feld $F$.

Dann $F\times F$, als Recht angesehen $R$ Modul mit Matrixmultiplikation ist ein einfaches Modul $2$ dimensional über $F$.

Ein weiteres Beispiel mit der gleichen Idee: let $V$ sei ein unendlich dimensionaler Vektorraum, und $E$sei sein Ring linearer Transformationen. Dann$V$ ist in der Tat eine einfache $E$ Modul und doch $V$ hat unendlich $F$ Abmessungen.

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Dies alles setzt voraus, dass Sie "Dimension" so gemeint haben, wie es am häufigsten verwendet wird: als Invariante eines Vektorraums. Wenn Sie tatsächlich eine andere Art von Dimension gemeint haben, müssen Sie angeben. Es gibt mehrere, über die Sie sprechen könnten. Zum Beispiel, wenn durch das Maß Sie „Zusammensetzung Länge“ gemeint, dann ja , hat eine einfache Modul Zusammensetzung Länge$1$.