Disjunkte ROCs von Eingabe und Systemfunktion

Question

Ich versuche zu verstehen, wie sich die Ausgabe verhält, wenn die Eingabe und die Systemfunktion keinen gemeinsamen Konvergenzbereich (ROC) für ein LSI-System haben.

Betrachten Sie ein LSI-System mit $x[n]$, $h[n]$, $y[n]$als Eingabe, Impulsantwort bzw. Ausgangssignal: Wir wissen, dass \ begin {collect} Y (z) = X (z) \ cdot H (z) \\ [5pt] \ text {with} \ ROC (Y) \ supseteq ROC (X) \ \ cap \ ROC (H) \ end {versammeln} Was wäre wenn$ROC(X) \ \cap \ ROC(H)=\phi$, was wäre die Ausgabe? Ist es überhaupt richtig definiert?

Ich habe es mit einigen Beispielen versucht $x[n]$ und $h[n]$Bei disjunkten ROCs ist die Ausgabe nicht definiert. Hier ein Beispiel: \ begin {collect} x [n] = (1/4) ^ nu [-n-1] \\ [5pt] h [n] = (1 / 2) ^ nu [n] \\ [5pt] ROC (X): | z | <1/4 \\ [5pt] ROC (H): | z |> 1/2 \\ [10pt] y [n ] = \ sum \ limit_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (1/4) ^ ku [-k-1] (1/2) ^ {nk} u [nk] \\ [5pt] y [n] = (1/2) ^ n \ sum \ limit_ {k = - \ infty} ^ {- 1} (1/2) ^ ku [nk] \\ [5pt] y [n] = (1 / 2) ^ n \ sum \ limit_ {k = 1} ^ {\ infty} 2 ^ ku [n + k] \\ [5pt] \ text {Klar} y [n] \ text {ist nicht definiert} \ end { sammeln} Meine Frage ist, ob dies in jedem Fall zutrifft, dass die Ausgabe nicht definiert wird oder es einige spezielle gibt$x[n]$ und $h[n]$ mit disjunkten ROCs wo $y[n]$ ist richtig definiert.

Answer 1

Wenn sich die ROCs nicht überlappen, konvergiert die entsprechende Faltungssumme nicht, daher ist die Ausgabe undefiniert. Beachten Sie, dass in Ihrer Frage davon ausgegangen wird, dass die$\mathcal{Z}$Es gibt sowohl Transformationen des Eingangs als auch der Impulsantwort des Systems.

Sie können Beispiele erstellen, für die weder die $\mathcal{Z}$-Transformation des Eingangs oder des Ausgangs existiert, dennoch sind die Eingangs- und Ausgangssignale perfekt definiert. ZB die Eingabesequenz$x[n]=A\cos(\omega_0n)$ hat keine $\mathcal{Z}$-Transformation, hat auch nicht die entsprechende Ausgabesequenz $y[n]=B\cos(\omega_0n+\phi)$, wo $B$ und $\phi$hängen vom Frequenzgang des Systems ab. [In diesem Beispiel wird angenommen, dass der ROC der Übertragungsfunktion des Systems$H(z)$ schließt den Einheitskreis ein, dh das System ist stabil.]