Drei Desperados

Question

Drei Desperados A, B und C spielen russisches Roulette, bei dem sie abwechselnd den Abzug eines mit einer Kugel beladenen Sechszylinder-Revolvers betätigen. Jedes Mal, wenn das Magazin gedreht wird, um zufällig einen neuen Zylinder zum Abfeuern auszuwählen, solange der tödliche Schuss nicht gefallen ist. Die Desperados schießen in der Reihenfolge A, B, C, A, B, C ,. . Bestimmen Sie für jeden der drei Desperados die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Desperado derjenige ist, der sich selbst erschießt.

Ich muss die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der A stirbt $i$Versuch, also sterben B und C nie. Wenn um$1$In der Gerichtsverhandlung stirbt niemand, den wir haben $(\frac{5}{6})^3$. Wenn um$i$Im Prozess stirbt niemand, den wir haben sollten $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, weil

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

und seit $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

wo $A=[$A nicht sterben$]$. Also sollte A bei sterben$i+1$th Versuch mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Leider ist das Ergebnis $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Warum?

Answer 1

Ihre Notation erschwert das Problem übermäßig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Waffe zuerst auf die feuert$i$-th Drücken des Abzugs ist $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die erste $i-1$ Abzug zieht nicht und dann die $i$-th tut es. $A$ stirbt, wenn dies beim ersten, vierten, siebten usw. geschieht .... Drücken des Abzugs: wenn $i=3k+1$ für einige natürliche $k$. So$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Der Vollständigkeit halber da $B$ und $C$ benötigen $i=3k+2$ und $i=3k+3$ beziehungsweise, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ und $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Sie können dieses Problem ohne ausgefallene Seriensummierung lösen. Du weißt, dass:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Einmal von sechs, $A$wird sofort verlieren. In dem anderen$\frac{5}{6}$ von Fällen, $A$ wird in der gleichen Situation sein $C$ ist am Anfang des Spiels.

Als nächstes haben Sie:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Wenn A am Anfang nicht verliert, $B$ wird mit Wahrscheinlichkeit verlieren $P(A)$.

Natürlich haben Sie auch:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

da muss jemand verlieren. Sie haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte.