Eigenschaften des Laplace-Operators

Question

Lassen $\Omega \subset \mathbb{R}^n$offen und begrenzt. Betrachten Sie den Operator$$A:=-\Delta: H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \longrightarrow L^2(\Omega)$$ wo $\Delta$ ist der Laplace-Operator in $\Omega$mit den Dirichlet-Randbedingungen. ich weiß das$A$ ist linear, selbstadjunkt und ein positiver Operator, der dicht definiert ist $L^2(\Omega)$.

Frage 1. Der Betreiber$A$ ist invertierbar?

Ich denke schon, wegen des Lax-Milgram Lemma. Darüber hinaus denke ich, dass die Umkehrung ein kompakter Operator ist. (Recht?)

Frage 2. Wenn$ A $ ist invertierbar, ist es möglich, die Umkehrung explizit $ A ^ {- 1} $ von $A$? Darüber hinaus ist es auch explizit möglich$A^{-1/2}$?

Ich gebe zu, dass für mich die wahre Bedeutung von nicht klar ist $A^{-1/2}$.

Answer 1

Frage 1. Ja, es ist nach dem Lax-Milgram-Theorem invertierbar und nach dem Rellich-Theorem kompakt.

Frage 2. Ja, Sie können die Existenz einer hilbertschen Basis von nachweisen$L^2(\Omega)$ konstruiert aus Eigenfunktionen von $A^{-1}$. Zum$B=A^{-1}$können Sie die Quadratwurzel von definieren $B$ (im Allgemeinen die Bruchkräfte) von: $$D(B^{1/2}):=\{f\in L^2(\Omega) : \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n (f|e_n)^2_{L^2} <\infty\},$$ $$B^{1/2} f = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n^{1/2} (f|e_n)_{L^2}e_n,$$ wo $(e_n)$ ist eine Basis von Eigenfunktionen von $B$ Eigenwerten zugeordnet $(\lambda_n)$.

Answer 2

Ich spreche nur Q1 an:

Erstens kann Lax-Milgram nicht verwendet werden, da dieser Satz nur für Operatoren von gilt $H$ zu $H^*$, wo $H$ist ein Hilbert-Raum. (Oder gleichbedeutend mit bilinearen Formen auf einem Hilbert-Raum)

Die Umkehrbarkeit von $A$ hängt von der Regelmäßigkeit der Domain ab $\Omega$. ZB wenn die Grenze glatt ist oder wenn$\Omega \subset \mathbb R^2$ ist also ein konvexes Polyeder $A$ ist invertierbar.

Auf anderen Domänen $A$ möglicherweise nicht invertierbar, siehe z. https://mathoverflow.net/a/38803.

Zum Schluss, wenn $A$ ist invertierbar, das Gegenteil $A^{-1}$ kann als Bediener niemals kompakt sein $L^2$ zu $H^2 \cap H_0^1$. (Die Kompaktheit eines invertierbaren Operators impliziert, dass die Räume endlich dimensioniert sind). Wenn Sie jedoch das Bild von einbetten$A^{-1}$ in $L^2$ (oder $H_0^1$) erhalten Sie einen Operator $B \colon L^2 \to L^2$ und dieser Operator ist kompakt, da es sich um die Verkettung eines begrenzten Operators handelt $A^{-1}$ und ein kompakter Operator (die Einbettung).