Eigenwerte und Nullraum
Ich möchte die Beziehungen zwischen dem Nullraum und den Eigenwerten einer Matrix besser verstehen.
Zuallererst wissen wir, dass ein $n \times n$ Matrix wird haben $n$ Eigenwerte, obwohl die Eigenwerte komplex und wiederholt sein können.
Als nächstes wissen wir, dass wenn $A$ hat der Eigenwert 0, dann befindet sich der entsprechende Eigenvektor im Nullraum $N(A)$, schon seit $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Dies impliziert, dass alle Eigenvektoren, die dem Eigenwert 0 entsprechen, genau überspannen$N(A)$.
Verwenden Sie die beiden oben genannten Schlussfolgerungen und nehmen Sie an, dass wir eine haben $n \times n$ Matrix mit Rang $r$Jetzt wissen wir, dass die Dimension des Nullraums ist $n-r$. Können wir daraus schließen, dass es zumindest welche geben wird ? $n-r$Eigenwerte gleich 0? und genau $n-r$ unabhängige Eigenvektoren, um den Nullraum zu überspannen?
Antworten
Wenn $A$ hat vollen Rang, dann ist die Dimension des Nullraums genau $0$.
Nun, wenn $A_{n×n}$ hat Rang $r\lt n $, dann die Dimension des Nullraums $=(n-r)$. Diese$(n-r)$wird die geometrische Multiplizität des Eigenwerts sein$0$.
Aber wir wissen das, algebraische Vielfalt $\ge$ geometrische Vielfalt .
Also algebraische Multiplizität des Eigenwerts $0$ sollte zumindest sein $(n-r)$. Dies bedeutet, dass es mindestens geben wird$(n-r)$ Anzahl von $0$'s, als die Eigenwerte von $A$.
Und da geometrische Multiplizität eines Eigenwertes $=$ Aus der Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren, die diesem Eigenwert entsprechen, können wir schließen, dass es genau solche gibt $(n-r)$ Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren entsprechend dem Eigenwert $0$.
Gegeben eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$::
Ein Vektor $x$ ist ein Eigenvektor von $A$ wenn $Ax = \lambda x$ wo $\lambda$ ist der Eigenwert.
Der Kernel (Nullraum) von $A$ ist das Set $\{v | Av=0\}$dh alle $v$ die einen Eigenwert haben $0$.
Der Eigenraum, $E_{\lambda}$ist der Nullraum von $A-\lambda I$dh $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Beachten Sie, dass der Nullraum nur ist$E_{0}$.
Die geometrische Multiplizität eines Eigenwerts $\lambda$ ist die Dimension von $E_{\lambda}$, (auch die Anzahl der unabhängigen Eigenvektoren mit Eigenwert $\lambda$ diese Spanne $E_{\lambda}$)
Die algebraische Multiplizität eines Eigenwerts $\lambda$ ist die Anzahl der Male $\lambda$ erscheint als Wurzel zu $det(A-x I)$.
algebraische Multiplizität $\geq $ geometrische Vielfalt.
Betrachten Sie das folgende Beispiel: $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Dann $n = 2$ und der Rang von $rank(A) = 1$. Das$det(A-x I) = x^{2}$ und die Wurzeln sind $x = \{0,0\}$. Wir sehen, dass der Eigenwert$0$ hat algebraische Vielheit $2$. Die geometrische Vielfalt ist jedoch die Dimension von$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ welches ist $1$. Aus diesem Beispiel sehen wir das$n-r = 1$, was gleich der geometrischen Vielzahl von ist $\lambda = 0$.
Daraus schließen wir $\lambda = 0$ wird eine algebraische Vielzahl von mindestens haben $n−r$ und eine geometrische Vielzahl von $n−r$. Dies ergibt sich aus der Definition von Rang und geometrischer Vielfalt.