Eigenwerte von $A^{2018}$

Question

Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A^{2018}$. $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

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Meine Lösung:

Erstens erhalten wir durch Subtrahieren der ersten Reihe mal drei von der zweiten Reihe: $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

Wir haben die obere Dreiecksmatrix erreicht, daher lautet das charakteristische Polynom: $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

Daher ist die Menge der Werte $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

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Bitte überprüfen Sie, ob dies die richtige Lösung ist. Falls dies nicht der Fall ist, helfen Sie mir, die richtige zu finden.

Answer 1

Ihre Matirx ist die Summe einer relativ einfachen (symmetrischen) und einer nicht potenten Matrix, und diese pendeln. $N$ ist Null mit Ausnahme des Paares von $4$ in Positionen $(1,3)$ und $(2,3).$ Nennen Sie die symmetrische $S$das kann schön diagonalisiert werden. weil sie pendeln,$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ Es hört dort seitdem auf $N^2 = 0.$

Ich habe das nur erraten, alles was benötigt wird ist explizit $P^{-1} S P = D.$ Das ist nicht wirklich notwendig $P$orthogonal sein. In der Tat, was ich tue, ist

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

wo $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ so dass $S = PDP^T.$ So $S^{n} = P D^n P^T$ für alle $n \geq 1$

das $S+N$wird eine Jordan Chevalley-Zerlegung genannt, manchmal viel einfacher als die jordanische kanonische Form. Diesmal nicht viel anders

Answer 2

Hinweis: Das charakteristische Polynom ist $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Sie können überprüfen, ob die Jordan Normalform ist $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

Dann $A^n$ ist ähnlich wie $B^n$.

Aber $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

Daher bekommen wir $\{4^n,(-2)^n\}$ als die Eigenwerte.