Ein Polynom finden

Question

Mein Zweifel stammt von einem PRMO-Modellpapier, das ich heute hatte. Das Bild der Frage ist unten angegeben (ich musste zu Mittag essen, dachte also über einen schnelleren Weg nach, um meine Frage zu stellen, und endete damit):

Was ich versucht habe :

Ich fühlte, dass $f(x) - x^3$kann mir den Wert des quadratischen Teils des Polynoms geben. Infolgedessen nimmt der quadratische Teil die Form an$ax^2 +bx + c$Die Unterschiede, die ich bekomme, sind:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Ich bin kein Experte für das Lösen von 3 linearen Gleichungen in 3 Variablen, aber ich habe versucht, mir die Haare auszureißen (ich habe versucht, ein bisschen literarisch zu sein; ich hoffe, Sie haben nichts gegen die Formulierungen, sondern konzentrieren sich auf die Frage). Ich habe versucht, zwei Gleichungen gleichzeitig zu erstellen, und am Ende mehrere Werte für dieselben Variablen erhalten.

Ich werde jedem dankbar sein, der bereit ist, mir zu helfen.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Die dritte Gleichung ist falsch

Subtrahieren von Gleichung (1) von Gleichung (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ Gleichung (3)

Subtrahieren von Gleichung (1) von Gleichung (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ Ersetzen Sie dies in allen Gleichungen und Sie erhalten die Antworten

Answer 2

Beachten Sie, dass $f(x) = x^2$erfüllen die drei gegebenen Gleichungen. Aber wir wollen einen Abschluss$3$ also fügen wir hinzu $(x-1)(x-2)(x-3)$ und bekomme $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ mit $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

Hinweis: Überlegen Sie $f(x)-x^2$stattdessen. Es ist so viel einfacher, mit Polynomen zu arbeiten, die an bestimmten Punkten 0 sind.

Answer 4

Während die Lösungen mit $x^2$ Sind es wahrscheinlich diejenigen, die vom Fragesteller beabsichtigt sind, ist es auch einfach, schnell den Wert von zu ermitteln $f(4)$ohne das Quadrat mit endlichen Differenzen zu extrahieren. Lassen$g(n) = f(n) - n^3$Seien Sie wie im OP quadratisch. Die Unterschiede erster Ordnung sind:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

Der Unterschied zweiter Ordnung ist also $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, die für jedes quadratische (oder niedrigere) Polynom konstant ist. Daher$\Delta^2 g(2) = -10$, damit $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, und $g(4) = g(3) -24 = -42$.

Damit $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

Wir haben $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ und $$9a+3b+c=-18,$$ was gibt $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ und $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ So, $$f(4)=22.$$

Answer 6

Wir müssen die Koeffizienten für das Polynom nicht explizit bestimmen, tatsächlich haben wir das durch Eindeutigkeit

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

die konstruktionsbedingt die gegebenen Bedingungen erfüllt mit $f(1)=1$, $f(2)=4$ und $f(3)=9$, dann

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

Wie andere Antworten zeigen, haben wir das schwieriger

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

Gegeben $f(x)$ , ein monisches kubisches Polynom.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

Durch den Faktorsatz können wir das zeigen $(x-1)$,$(x-2)$ und $(x-3)$ sind Faktoren von $f(x) - x^2$

Wir haben drei lineare Faktoren, damit wir schreiben können $f(x)$ wie,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, wobei k eine Konstante ist

Aber $f(x)$ ist ein monisches Polynom, daher ist k = 1

so wird unser Polynom, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Setzen von x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

Dies ist eine gängige Technik zur Lösung von mathematischen Problemen. Sie können hier mehr darüber lesen https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/