Eindeutigkeit endlicher Felder mit $p^n$Elemente. [Duplikat]

Question

Es ist bekannt, dass es nur ein endliches Feld mit gibt $p^n$ Elemente, bis zum Isomorphismus, wo $p$ ist eine Primzahl und $n \geq 1$.

Lassen $n = m t$, wo $m, t > 1$.

Dann $F = Z_p[X]/(f(X))$ ist ein Feld mit $p^n$ Elemente zur Verfügung gestellt $f$ ist ein irreduzibles Polynom des Grades $n$ im $Z_p$.

Aus dem gleichen Grund, $G = Z_p[X]/(g(X))$ ist ein Feld mit $m$ Elemente ($g$ nicht reduzierbar vom Grad $m$). Dann$G$ hat $p^m$ Elemente.

Zum Schluss lassen Sie: $H = G[X]/(h(X))$ wo $h$ ist ein irreduzibles Gradpolynom $t$ mit Koeffizienten in $G$.

Nun, nach meinem Verständnis $F$ und $H$ Nimm beide $p^n$Elemente. Meine Frage lautet also:

Sind $F$ und $H$ isomorph?

Answer 1

Dies beruht auf einer allgemeinen Tatsache über das Aufteilen von Feldern.

Lassen $F$ ein Feld sein und $f(X)\in F[X]$sei ein monisches Polynom. Ein Erweiterungsfeld$K$ von $F$ist ein Aufteilungsfeld für$f$ wenn

1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ im $K[X]$ (die Wurzeln müssen nicht verschieden sein);
2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Satz. Wenn$K_1$ und $K_2$ teilen Felder von $f(X)\in F[X]$dann existiert ein Feldisomorphismus $\varphi\colon K_1\to K_2$ Verlassen $F$ punktuell fixiert.

Der Beweis ist länger und kann in jedem Buch über die Galois-Theorie gefunden werden, da es ein grundlegendes Werkzeug dafür ist.

Betrachten Sie nun das Polynom $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, wo $\mathbb{F}_p$ ist der $p$-Elementfeld (das bis zum eindeutigen Isomorphismus eindeutig ist).

Lassen $K$ ein spaltendes Feld von sein $f(X)$. Dann$f(X)$ hat $p^n$ deutliche Wurzeln in $K$ (weil die Ableitung des Polynoms ist $-1$). Auf der anderen Seite die Menge der Wurzeln von$f(X)$ ist ein Unterfeld von $K$: in der Tat, wenn $a,b$ sind also Wurzeln $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ so $a+b$ ist eine Wurzel von $f$. Analog$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$und es ist einfach, die Wechselwirkungen zu überprüfen. Da auch$0$ und $1$ sind Wurzeln, die wir fertig haben.

So $K$ ist die Menge aller Wurzeln von$f$ und deshalb $|K|=p^n$.

Umgekehrt, wenn $K$ ist ein Feld mit $p^n$ Elemente, dann zeigt das gleiche Argument wie zuvor, dass $X^{p^n}-X$ hat $p^n$ deutliche Wurzeln in $K$, so $K$ ist ein Aufteilungsfeld für $f(X)$.

Die Einzigartigkeit bis zum Isomorphismus folgt nun aus dem obigen Satz.