Eine Eigenschaft eines erstzählbaren Raums

Question

Ich habe Probleme beim Lösen der Übung 4 in Kapitel 2, Abschnitt 4 der Einführung in die Topologie , Gamelin und Greene, 2 ..

Angenommen, ein topologischer Raum $X$erfüllt das erste Axiom der Zählbarkeit oder ist zuerst zählbar , dh für jedes$x\in X$gibt es eine Folge von offenen Nachbarschaften $\{ U_n\}$ von $x$ so dass jede Nachbarschaft von $x$ beinhaltet eine der $U_n$'s.

Beweisen Sie folgende Aussagen:

(c) In einem erstzählbaren Raum $X$, jeder Punkt, der an einem Satz haftet $S$ ist eine Grenze einer Sequenz in $S$.

Autoren schlagen vor, dass weil $S$ trifft jeden $U_n$, wählen Sie einfach eine $s_n\in U_n \cap S$für jedes n. Dann$\{s_n\}$ konvergiert zu $x$.

Ich verstehe nicht den letzten Teil, der "$\{s_n\}$ konvergiert zu $x$".

Für mich scheint es vernünftig, dass für jede offene Nachbarschaft $V$ von $x$, es gibt einige $U_k\subset V$ so $s_k \in V$. Aber um das zu sagen$\{s_n\}$ konvergiert zu $x$muss gezeigt werden, dass es einige gibt $N$ so dass wenn $n\geq N$ dann $s_n \in V$. Ich habe keine Möglichkeit, die Existenz solcher zu zeigen$N$.

Answer 1

Wenn $\{U_n\}_{n\in\omega}$ ist eine offene lokale Basis für einen Punkt $x$ Sie können immer annehmen, dass WLOG das $U_{n+1}\subseteq U_n$ (Sie definieren nur $V_n:=\cap_{i\leq n}U_n$, dann $\{V_n\}_{n\in\omega}$ ist auch eine offene lokale Basis).

Beachten Sie, dass Sie unter dieser Annahme erhalten $s_n\in U_N$ für jeden $n\geq N$.

Answer 2

Mit Hartleys Kommentar könnte ich diesen Weg gehen.

Fix ein beliebiges $s_1 \in U_1 \cap S$.

Nachgeholt $s_1, s_2, \dots, s_{n-1}$, wählen $s_n \in (\cap_{k=1}^{n} U_k)\cap S$. weil$\cap_{k=1}^{n} U_k$ ist eine offene Nachbarschaft von $x$ es gibt einige $U_\alpha \subset \cap_{k=1}^{n} U_k$. Wählen Sie eine aus$s_n \in U_\alpha \cap S$. Dann$s_n \in (\cap_{k=1}^{n} U_k)\cap S$.

Repariere eine Nachbarschaft $V$ von $x$. Dann wird durch die Definition des ersten Abzählbarkeitsaxiom existiert$U_m \subset V$ für einige $m$. Wenn$n\geq m$, $s_n \in S_m \subset V$.