Eine Identität auf Binomialkoeffizienten

Question

Ich habe einige Experimente mit Magma durchgeführt und ich glaube, dass dies wahr ist: wenn $p$ ist eine Primzahl und $k, a \geq 0$ sind dann ganze Zahlen

$${kp \choose ap} \equiv {k \choose a} \mod p^2.$$

Kann sich jemand vorstellen, wie man das beweist? Ein kombinatorischer Beweis wird in einem Kommentar gegeben hier , aber ich bin neugierig , ob es ein algebraischer Beweis.

Ich weiß, wie man Kongruenz-Mod beweist $p$: Es folgt die Verwendung des Binomialsatzes zur Identität $$(1+x)^{kp} = (1+ x^p)^k$$ im $\mathbb{F}_p[x]$, was wiederum von Frobenius wahr ist.

Answer 1

Ok hier ist es (für $p^3$, ein noch stärkerer Fall):

Dafür werde ich dieses schöne Lemma verwenden:

Zum $n\in\mathbb{N}$ und $p\in\mathbb{P}$, $p>3$:: $$\binom{np-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{pk(pk-1)...(pk-pa+1)}{(pa)!}-\frac{k(k-1)...(k-a+1)}{a!}=\binom{k}{a}\Bigg(\frac{\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}}{\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}}-1\Bigg)$$

Lassen $$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}$$

Dann haben wir

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{\binom{k}{a}}{c}\Bigg(\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\Bigg)$$

Mit unserem Lemma ist der Beweis vollständig, weil

$$\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv1-1\equiv0\pmod{p^3}$$

und

$$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$ damit $c$ ist nicht teilbar durch $p$.

So, $$\binom{pk}{pa}\equiv\binom{k}{a}\pmod{p^3}$$

Weitere Informationen finden Sie unter Kongruenzen vom Typ Ljunggren .