Eine Subtilität im Brachistochron-Problem

Question

Das Folgende ist ein spezifischer Fall des Brachistochron-Problems, auf das ich zum ersten Mal in der Graduiertenschule gestoßen bin, und das ich gelegentlich als hw-Problem beim Unterrichten von CM verwendet habe.

Ein Teilchen wird am Ursprung aus der Ruhe gebracht und gezwungen, entlang eines Pfades unter die Schwerkraft zu fallen $y(x)$ das geht durch den Punkt $x=5$, $y=-1$(in beliebigen Einheiten, zum Beispiel Meter). Wir nehmen an, dass das Gravitationspotential linear ist,$V=mgz$.

a) Bestimmen Sie den Pfad, der die benötigte Zeit minimiert. Machen Sie eine Darstellung dieses Pfades.

b) Gibt es einen anderen Weg, der die benötigte Zeit stationär macht? Wenn ja, zeichnen Sie diesen Pfad und erklären Sie, ob dieser Pfad ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt ist.

Die Lösung des Brachistochron-Problems ist natürlich sehr bekannt, daher geht es bei dieser Aufgabe wirklich darum, eine bestimmte Zykloide zu finden, die die Randbedingungen erfüllt. Wie in Teil b angegeben, gibt es mehr als eine: Die Standardzykloide und zwei Zykloiden, die "abprallen".

Nun ist klar, dass die einfache Zykloide das absolute Minimum ist, da die Verfahrzeit proportional zum verfolgten Winkel ist. Aber was ist mit den anderen beiden? Naiv sollten sie Sättel sein, aber die zweite Variation der Aktionsfunktion ist offensichtlich positiv, was darauf hinweist, dass es sich um lokale Minima handelt. Aber das kann nicht richtig sein, es sei denn, die Topologie des Pfadraums hat etwas Komisches. Sind die höheren Zykloiden Sattelpunkte oder Minima?

PS: Um zu sehen, dass die höheren Zykloide nicht einfach als Lösungen abgetan werden können, betrachten Sie dieses Diagramm der Geschwindigkeitskomponenten $(v_x,v_y)$ als Funktion der Zeit für die zweite Zykloide.

Die entsprechenden Komponenten der Beschleunigung sind:

Es ist klar, dass die Beschleunigung (und die Zwangskräfte) vollkommen gleichmäßig sind.

Answer 1

TL; DR: Ein Pfad, der stückweise aus mehr als einer Zykloide (jeweils mit möglicherweise unterschiedlicher Energie) aufgebaut ist$E$, siehe unten) und mit Höckern an der $x$-Achse ist nicht stationär.

Skizzierter Beweis:

1. Denken Sie daran, dass die Aktion (= verbrachte Zeit) des Brachistochron-Problems ist$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ mit Randbedingungen $y(0)=0$ und $y(a)=b$. (Hier das$y$-Achse zeigt nach unten und wir haben der Einfachheit halber Einheiten von Zeit und Raum so gewählt, dass $2g=1$.)

2. Physisch fordern wir, dass der Weg $x\mapsto y(x)$ist zumindest kontinuierlich. Mathematisch sollte der Integrand nur Lebesgue-integrierbar sein. Um so einfach wie möglich zu sein, aber auch die Beispiele von OP einzubeziehen, werden wir einen bequemen Kompromiss eingehen und davon ausgehen, dass der Weg$x\mapsto y(x)$ist stückweise kontinuierlich differenzierbar, obwohl wir die Ableitung zulassen werden$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ an den Punkten zwischen den Stücken singulär zu werden, solange der Integrand Lebesgue integrierbar bleibt.

3. Daraus folgt, dass ein stationärer Pfad notwendigerweise die Euler-Lagrange (EL) -Gleichung innerhalb des Inneren jedes Stücks erfüllt . An den Punkten zwischen den Teilen können zusätzliche Bedingungen auftreten.

4. Seit dem Lagrange $L$ hat keine explizite $x$-abhängigkeit der entsprechende Energiebegriff (innerhalb eines Stückes) bleibt erhalten: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. Die Stücklösung ist eine Zykloide: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$wo die Annäherung in der Nähe der Spitze gültig ist. Die Höckergleichung wird$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ In der Nähe der Spitze führt das Teilchen eine frei fallende Bewegung aus, die in Abhängigkeit von der Zeit glatt ist $t$.

6. Die Idee ist nun, die Spitze an einer horizontalen Ebene abzuschneiden $y=\epsilon\ll 1$dh bei einigen $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Der Einfachheit halber betrachten wir nur den rechten Ast der Spitze - der linke Ast ist ähnlich.) Die Wirkung der Spitze ist$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Zum Vergleich ist die Wirkung des horizontalen Pfades erwartungsgemäß schneller: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Dies zeigt, dass wir die Aktion in die erste Reihenfolge ändern können $\epsilon$und daher ist der Weg nicht stationär. $\Box$