Einfache raumfüllende Kurve

Question

Hier sind sechs Iterationen der Hilbert-Raumfüllungskurve .

Gibt es nicht eine einfachere raumfüllende Kurve?

Beispielsweise $16$ Iterationen dieser Kurve:

Ist es nicht auch eine raumfüllende Kurve?

1. Wenn nicht, warum dann?
2. Wenn es dann , warum sie (Mathematiker) nicht die einfachste mögliche Kurve verwenden? Oder was sind die Vorteile der Hilbert-Kurve gegenüber meiner?

Answer 1

Die von Ihnen bereitgestellten Bilder führen nicht zur Erstellung einer raumfüllenden Kurve. Dies liegt an der Tatsache, dass, wenn Sie nehmen$\{f_n\}$ Um die Folge von Funktionen zu sein, die die von Ihnen bereitgestellten Iterationen definieren, würden wir normalerweise aufrufen $f:= \lim_{n\rightarrow \infty} f_n$unsere resultierende raumfüllende Kurve. In diesem Fall existiert diese Grenze jedoch nicht (so$f$ ist nicht gut definiert).