Einklammerungszahl vs. Überdeckungszahl

Question

Ich möchte nur überprüfen, ob das Lemma auf Seite 9 dieser Folien korrekt ist:http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lemma:$N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Beweis: Wenn$f$ist in dem$2\epsilon$-Klammer$[l,u]$, dann ist es im Kugelradius$\epsilon$um$(l+u)/2$.

Ich denke, was der Beweis bedeutet, ist, dass, wenn eine Menge von$2\epsilon$-Bügelabdeckungen$\cal F$, dann ist diese Menge auch eine Menge von Kugeln mit Radius$\epsilon$das kann abdecken$\cal F$. Da kann es andere Sätze von Kugeln mit Radius geben$\epsilon$das kann abdecken$\cal F$, die Deckzahl ist nicht größer als die Klammerzahl.

Ich habe bisher in keinem Lehrbuch die gleiche Schlussfolgerung gefunden (ich bin mir nicht sicher, ob dies daran liegt, dass diese Schlussfolgerung viel zu trivial ist), daher bin ich mir nicht sicher, ob sie richtig oder falsch ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn mich jemand aufklären könnte!!

Answer 1

Ihre Ausarbeitung ist im Wesentlichen richtig, außer die Klammern selbst sind es nicht$\|\cdot\|$-Bälle.

Wenn$[l,u]$ist ein$2\epsilon$-Klammer, dann ist es in der enthalten$\|\cdot\|$-Kugel mit Radius$\epsilon$zentriert bei$(l+u)/2$, seit$l \le f \le u$impliziert$$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Also eine Hülle von$2\epsilon$-Halterungen können durch eine größere Abdeckung ersetzt werden$\epsilon$-$\|\cdot\|$-Kugeln gleicher Kardinalität.