Elektronenphononenkopplung innerhalb des Feldintegralformalismus

Question

Beim Lesen der "Feldtheorie der kondensierten Materie" von Altland und Simons stecke ich in der Übung "Elektronenphononenkopplung" in Abschnitt 4.5 fest.

In den Übungen geht es darum, die Phononenfelder zu integrieren, um eine effektive Interaktion zwischen den fermionischen Feldern zu erhalten. Genauer gesagt schreiben sie die Aktion eines solchen Systems als$$ S[\bar{\phi},\phi,\bar{\psi},\psi] = S_{ph}[\bar{\phi},\phi] + S_{el}[\bar{\psi},\psi] + S_{el-ph}[\bar{\phi},\phi,\bar{\psi},\psi], $$ wo $S_{el}$ ist die elektronische nicht interagierende Aktion, die wir hier nicht brauchen, $S_{ph}$ ist die Aktion der freien Phononen, und $S_{el-ph}$ ist die Aktion der Interaktion: $$ S_{ph}[\bar{\phi},\phi] = \sum_{q,j} \bar{\phi}_{qj}( - i\omega_n + \omega_q ) \phi_{qj} $$ $$ S_{el-ph}[\bar{\phi},\phi,\bar{\psi},\psi] = \gamma \sum_{qj} \frac{i \vec{q}\cdot \vec{e}_j}{\sqrt{2m\omega_q}} \sum_{k,\sigma} \bar{\psi}_{k+q,\sigma} \psi_{k\sigma} (\phi_{qj} + \bar{\phi}_{-qj}). $$ Hier $\omega_q$ ist die Phononendispersionsbeziehung, von der angenommen werden soll $q$ nur und so dass $\omega_{-q}=\omega_q$, $j$ beschriftet die phononischen Zweige, $\sigma$ beschriftet den elektronischen Spin, $i\omega_n$ sind Matsubara Bosonische Frequenzen, $m$ und $\gamma$ sind Konstanten.

So weit so gut, aber jetzt werde ich gebeten, die Phononenfelder zu integrieren, und ich kann das nicht richtig machen, um ihr Ergebnis für die effektive Aktion wiederherzustellen, nämlich: $$ S_{eff}[\bar{\psi},\psi] = S_{el}[\bar{\psi},\psi] - \frac{\gamma}{2m} \sum_q \frac{q^2}{\omega_n^2+\omega_q^2} \rho_q\rho_{-q}, $$ wo $\rho_q = \sum_{k\sigma} \bar{\psi}_{k+q,\sigma}\psi_{k\sigma}$. Meine Frage lautet im Grunde: Haben Sie Vorschläge zur Integration dieser Felder? Denken Sie auch, dass dies das richtige Ergebnis ist, ich meine im Einklang mit den obigen Annahmen? Wenn nicht, können Sie den Fehler erklären? Danke im Voraus

Mein Versuch

Ich habe darüber nachgedacht, die "Ströme" zu definieren. $$ J_{qj} = \gamma \frac{i \vec{q}\cdot \vec{e}_j}{\sqrt{2m\omega_q}} \rho_q; \;\;\;\;\; K_{qj} = - \gamma \frac{i \vec{q}\cdot \vec{e}_j}{\sqrt{2m\omega_q}} \rho_{-q}, $$ so dass die Funktion, die wir integrieren müssen, ist $$ \exp\left[-S_{ph}[\bar{\phi},\phi] - \sum_{qj} ( J_{qj} \phi_{qj} + K_{qj} \bar{\phi}_{qj} )\right]. $$ Dies ist nun ein Gaußsches Integral, zu dem die Lösung proportional sein sollte $$ \exp\left[\sum_{qj} \frac{ \bar{J}_{qj} K_{qj} }{-i\omega_n + \omega_q} \right], $$ was zu einem falschen Ergebnis führt.

Answer 1

Das Problem ist, dass $S_{ph}$im Altland entspricht dem falschen Propagator. Die relevanten Operatoren hier sind nicht die Vernichtungs- und Erstellungsoperatoren$ b^\dagger_q, b_q $, aber die Verschiebungsoperatoren $A^\dagger, A$ , wo $A=b_q + b^\dagger_-q$. Der entsprechende bloße Propagator ist (siehe z. B. (17) in [1])

$$D_o(q, \omega)={\frac{1}{\omega - \omega_q}} - {\frac{1}{\omega + \omega_q}} = {\frac{2 \omega_q}{\omega^2 - \omega_q^2}}$$

[1] https://www.cond-mat.de/events/correl17/manuscripts/heid.pdf