Entkomme dem Flugzeug

Question

An einem Sonntagmorgen wachst du auf und findest dich völlig allein auf einer unendlichen, flachen Ebene wieder. Du kannst dich nicht an viel von der Nacht zuvor erinnern, außer dass du vielleicht einen Zauberer verärgert hast. Neben dir findest du eine Palette mit zählbar unendlichen Farben und eine Notiz, die dir folgendes befiehlt:

Sie müssen jeden Punkt auf dieser Ebene malen, so dass ich niemals ein Dreieck mit Eckpunkten derselben Farbe und derselben rationalen Fläche finden kann.

Wenn Sie diese Aufgabe bewältigen können, lässt der Assistent Sie frei – scheitern Sie, und Sie sind für immer gefangen. Sie zweifeln nicht an den Fähigkeiten des Zauberers, also keine billigen Tricks hier. In Anbetracht des Problems machen Sie sich an die Arbeit - und unzählbar unendlich viel Zeit später steht der Zauberer neben Ihnen und bewundert Ihr Werk.

Befreit dich der Zauberer?

---

BEARBEITEN: Um Querdenken-Antworten basierend auf der Formulierung der Frage zu eliminieren, hier ist eine formale mathematische Aussage des Rätsels:

Gibt es eine Färbung von$\mathbb{R}^2$so dass es unmöglich ist, ein Dreieck mit Ecken gleicher Farbe und gleicher rationaler Fläche zu finden?

Answer 1

Sehr interessante Superaufgabe.

In einer 2D-Ebene bilden drei beliebige nichtkolineare Punkte ein Dreieck, verwenden Sie also nur 2 Punkte jeder Farbe. Da Sie unendlich viele Farben haben, werden Ihnen nie die Farben ausgehen. Dies bewahrt uns jedoch nicht vor unserem Untergang, da diese Aufgabe unzählige Zeit in Anspruch nehmen würde und uns im Flugzeug festsitzen würde. Also müssen wir das wie eine Superaufgabe angehen. Malen Sie den ersten Punkt in 1 Minute, malen Sie den zweiten Punkt in der Hälfte der Zeit, malen Sie den dritten in der Hälfte der Zeit des zweiten usw. In nur zwei Minuten und wie lange der Zauberer für die Überprüfung benötigt, werden Sie von der befreit sein Flugzeug!

Bearbeiten:

Die obige Lösung stößt auf das Problem, dass Ihnen die Farben ausgehen, weil es eine unabzählbar unendliche Anzahl von Punkten gibt$\mathbb{R}^2$und es gibt eine abzählbar unendliche Anzahl von Farben. Ich kann ein bisschen näher kommen, indem ich meine Zahlenfarben erhöhe. Anstatt an Farben als diskrete Farbkleckse zu denken, die der Zauberer mir gegeben hat, werde ich jetzt die Wellenlänge des Lichts betrachten, die das Pigment reflektiert (völlig unabhängig davon, wie das Mischen von Farben hier funktioniert). Mischen Sie nun in jedem Schritt der Superaufgabe die Farben so, dass Sie eine neue Farbe erhalten (z. B. in Schritt 1 verwenden Sie Farbe mit$700nm$, in Schritt 2 verwenden Sie Farbe mit$700.\bar01nm$, etc.). Jetzt haben Sie eine unabzählbar unendliche Anzahl von Lackfarben. Ich habe jedoch das Gefühl, dass die Ebene voller unendlicher zweidimensionaler Punkte ist$\mathbb{R}^2$, während ich nur Farben mit habe$\mathbb{R}>0$, also habe ich immer noch nicht annähernd genug Farben.

Answer 2

Das ist doch sicher einfach

Sie haben unendlich viele Farben, also verwenden Sie jede Farbe nur einmal. Sie haben nicht angegeben, ob die "Punkte" echte Punkte sind. Wenn es sich um echte Punkte auf einer Ebene handelt, haben sie keine Dimension, sodass Sie sie nicht malen können. Nicht einmal 1 Molekül Farbe kann verwendet werden.

oder

Wenn Sie diese Aufgabe bewältigen können, lässt der Assistent Sie frei – scheitern Sie, und Sie sind für immer gefangen.

Angesichts der Tatsache, dass die Aufgabe ewig dauern wird, sind Sie für immer in der Falle, die Aufgabe zu erledigen, nein, der Zauberer wird Sie nicht befreien.

oder

Sie malen unendlich lange parallele einfarbige gerade Linien. Es wird keine Dreiecke geben, die drei Eckpunkte derselben Farbe haben.